La división con resto

Con diecisiete fichas y cinco personas podemos dar tres a cada una.

No alcanza para otra vuelta completa: necesitaríamos cinco fichas y solo quedan dos.

Escribimos «17 ÷ 5: cociente 3 y resto 2». El tres cuenta fichas por persona en este reparto; el dos cuenta las fichas que no hemos repartido. Ninguna desaparece: quince entregadas y dos fuera son diecisiete.

Para 23 ÷ 4, cuatro grupos de cuatro usan 16 y cinco usan 20. Seis usarían 24, más de los 23 disponibles. Elegimos cinco: es el mayor cociente entero que no se pasa.

No elegimos un producto solo por estar cerca. Si supera el total, exigiría objetos que no tenemos. El cociente cuenta grupos completos o unidades completas por persona, según la situación.

Si dividimos entre cinco, el resto puede ser 0, 1, 2, 3 o 4. Un resto de cinco todavía permitiría dar una unidad más a cada grupo o formar otro grupo completo, así que el reparto no habría terminado.

Con total entero no negativo y divisor entero positivo, el resto siempre cumple 0≤resto<divisor.

Esta condición distingue un reparto terminado de una separación parcial que aún deja otro grupo posible.

La comprobación reúne lo repartido y lo sobrante: dividendo = divisor × cociente + resto.

Las dos condiciones deben revisarse.

En formación de paquetes, divisor es el tamaño del paquete y cociente cuántos paquetes completos hay. En reparto entre personas, divisor es el número de personas y cociente cuánto recibe cada una. El producto reconstruye en ambos casos todos los objetos entregados.

Para repartir 73 entre tres personas, empezamos con siete decenas. Damos dos decenas a cada una y usamos seis. Quedan una decena y tres unidades. Abrimos esa decena: ahora hay trece unidades para seguir repartiendo.

Con trece unidades damos cuatro a cada persona y usamos doce; sobra una. Cada una recibió 2 D y 4 U, es decir, 24. El cociente de 73 ÷ 3 es 24 y el resto 1. La decena que abrimos no es un resto final: todavía se podía repartir tras cambiar su agrupación.

Este razonamiento explica la cuenta de división por columnas. Cada cifra del cociente ocupa su lugar. Si una columna da cero, se conserva ese lugar para que las cifras de después no cambien de valor.

Con 29 piezas y cajas de seis piezas, llenamos cuatro cajas completas y sobran cinco piezas. No podemos llamar completa a una quinta caja que no tenga seis.

Con 29 personas y vehículos de seis plazas, cuatro vehículos solo llevan a veinticuatro personas. Necesitamos un quinto para las cinco restantes, aunque quede una plaza vacía. La misma división da cociente 4 y resto 5; la pregunta decide si respondemos cuatro completos o cinco necesarios.

En 17 ÷ 5, cociente 3 y resto 2 no se escribe convirtiendo automáticamente el resto en «,2». El dos cuenta dos objetos que siguen fuera de los cinco grupos, no dos décimas añadidas a cada grupo.

Si los objetos se pueden partir y queremos seguir, hay que repartir también esos dos sobrantes entre cinco. Ese nuevo reparto llevará a fracciones o decimales, que estudiaremos en sus lecciones. Si no podemos partirlos, la respuesta de reparto entero conserva cociente y resto con su significado.

El criterio de parada sigue siendo doble: divisor por cociente más resto debe dar el total, y el resto debe ser menor que el divisor. No se adivina una escritura decimal a partir de las cifras que quedaron.