Antes de elegir una cuenta, vamos a contar qué está ocurriendo. Identificaremos las cantidades, dibujaremos cómo se relacionan y resolveremos una pregunta cada vez. Una respuesta necesita tanto una operación correcta como una explicación de qué representa su resultado.
Si necesitas repasar:
1. Primero entendemos la historia y la pregunta
Tenemos doce fichas y entregamos cinco. Nos preguntan cuántas quedan. El doce es lo que había al principio y el cinco es la parte que sale. Podemos dibujar doce puntos y tachar cinco: quedan siete.
Es útil decirlo con nuestras palabras antes de escribir: «empiezo con doce, salen cinco y busco lo que sigue dentro». Esa frase conserva las relaciones entre los datos. Leer solo los números no nos diría si debemos juntar, quitar, repetir o repartir.
Reunir una cantidad nueva
Había siete libros y llegan otros dos. ¿Cuántos hay ahora?
Contamos qué cambia
Los dos nuevos se añaden a los siete; ninguno sale.
Calculamos y respondemos
7 + 2 = 9 libros.
Hay 9 libros.
De los nueve, dos son nuevos y los otros siete ya estaban.
La cantidad inicial es la desconocida
Después de regalar tres fichas quedan cinco. ¿Cuántas había antes?
Identificamos qué parte conocemos
Cinco es lo que quedó, no lo que había al inicio. Las tres regaladas también estaban antes.
Reconstruimos el grupo original
5 + 3 = 8.
Al principio había 8 fichas.
Al quitar las tres regaladas de ocho quedan las cinco que dice el enunciado.
2. Elegimos la operación por la relación entre cantidades
Juntar partes conocidas para buscar un total lleva a una suma. Separar una parte para buscar lo restante o una diferencia lleva a una resta. Repetir grupos iguales lleva a multiplicar. Repartir por igual o contar grupos de tamaño fijo lleva a dividir.
Una palabra aislada no decide la operación. «Tres más» puede describir lo que se añade, pero «¿cuántos más tiene?» puede pedir una diferencia. Hay que identificar qué cantidades son datos y cuál es la que falta.
La palabra más aparece con papeles distintos
Ana tiene ocho fichas. Luis tiene tres más que Ana. ¿Cuántas tiene Luis?
Relacionamos las cantidades
Luis tiene las ocho de referencia y una ventaja de tres.
Construimos su total
8 + 3 = 11.
Luis tiene 11 fichas.
Si a Luis le quitáramos su ventaja de tres, tendría las ocho de Ana.
Ahora buscamos la ventaja
Ana tiene ocho fichas y Luis once. ¿Cuántas más tiene Luis?
Identificamos la parte común
Ocho de las once se emparejan con las ocho de Ana.
Contamos lo que sobra en el grupo mayor
11 − 8 = 3.
Luis tiene 3 fichas más.
No sumamos once y ocho: se pide cuánto se diferencian, no cuánto reúnen.
Grupos iguales, dos preguntas
Hay cuatro cajas con tres piezas cada una. ¿Cuántas piezas hay? Si reunimos doce piezas en cajas de tres, ¿cuántas cajas se llenan?
Resolvemos el total de grupos conocidos
4 × 3 = 12 piezas.Resolvemos la cantidad de grupos desconocida
12 ÷ 3 = 4 cajas.
La primera respuesta es 12 piezas; la segunda, 4 cajas.
Son las mismas cantidades relacionadas, pero cambia la incógnita.
3. Una pregunta intermedia prepara la respuesta final
Recibimos tres paquetes de ocho hojas y usamos cinco hojas. Para saber lo que queda necesitamos conocer primero cuántas llegaron: 3 × 8 = 24.
El veinticuatro responde una pregunta intermedia. No podemos restar cinco a tres: tres cuenta paquetes y cinco cuenta hojas. Antes de operar, ponemos las cantidades que se combinan en el mismo tipo de unidad.
Multiplicar y después quitar
Hay cinco cajas de seis lápices. Se entregan ocho lápices. ¿Cuántos quedan?
Calculamos el contenido total
5 × 6 = 30 lápices.Quitamos la parte entregada
30 − 8 = 22 lápices.
Quedan 22 lápices.
22 + 8 = 30 reconstruye el total que había en las cinco cajas.
Juntar y después repartir
Se reúnen diez fichas y otras catorce. Se reparten entre cuatro personas por igual. ¿Cuántas recibe cada una?
Buscamos lo disponible para repartir
10 + 14 = 24 fichas.Hacemos el reparto del total
24 ÷ 4 = 6 fichas por persona.
Cada una recibe 6 fichas.
4 × 6 = 24 y ese total coincide con 10 + 14.
4. Los paréntesis conservan lo que debe tratarse como un bloque
Cada uno de cuatro sobres tiene dos tarjetas rojas y tres azules.
Los paréntesis reúnen el contenido completo de un sobre.
Escribir 4 × 2 + 3 contaría cuatro copias de las dos rojas, pero solo una copia de las tres azules. Para expresar la misma historia sin paréntesis necesitamos 4 × 2 + 4 × 3 = 8 + 12 = 20. Ambas partes se repiten cuatro veces.
Repetir una suma completa
Tres bolsas tienen cuatro piezas grandes y dos pequeñas cada una. ¿Cuántas piezas reúnen?
Calculamos una bolsa completa
4 + 2 = 6 piezas.Repetimos todo el contenido
3 × (4 + 2) = 3 × 6 = 18.
Reúnen 18 piezas.
3 × 4 + 3 × 2 = 12 + 6 = 18 confirma que se han repetido las dos partes.
La agrupación puede cambiar la cuenta
Compara (6 + 2) × 3 y 6 + 2 × 3.
Resolvemos primero el bloque entre paréntesis
(6 + 2) × 3 = 8 × 3 = 24.Leemos el producto separado de la otra suma
6 + 2 × 3 significa seis más dos grupos de tres: 6 + 6 = 12.
Las expresiones valen 24 y 12.
Los paréntesis no son decoración: indican qué cantidad completa se repite.
5. Sin paréntesis, un producto se resuelve antes de sumarlo
La expresión 5 + 3 × 4 representa cinco unidades y tres grupos de cuatro.
Esa es la convención compartida para leerla.
En estas cuentas resolvemos primero los bloques entre paréntesis; después multiplicaciones y divisiones; al final sumas y restas. Entre operaciones del mismo nivel avanzamos de izquierda a derecha. No inventamos una prioridad de multiplicación sobre división ni de suma sobre resta.
Conservar los objetos sueltos
Calcula 2 + 5 × 3.
Resolvemos el grupo multiplicativo
5 × 3 = 15.Reunimos lo que seguía pendiente
2 + 15 = 17.
El resultado es 17.
Si quisiéramos repetir también el dos, tendríamos que escribir (2 + 5) × 3.
Dos operaciones del mismo nivel
Calcula 18 ÷ 3 × 2.
Empezamos por la operación de la izquierda
18 ÷ 3 = 6.Conservamos la multiplicación que queda
6 × 2 = 12.
El resultado es 12.
18 ÷ (3 × 2) sería otra expresión, cuyo resultado es 3. Aquí esos paréntesis no estaban.
La resta mantiene su orden
Calcula 12 − 5 + 2.
Avanzamos de izquierda a derecha
12 − 5 = 7.Añadimos el último término
7 + 2 = 9.
El resultado es 9.
12 − (5 + 2) daría 5 y describiría otra agrupación.
6. Hay datos que no necesitamos y preguntas que requieren otro dato
Una persona de nueve años guarda cinco cajas con cuatro fichas cada una. Para contar fichas usamos cinco cajas y cuatro por caja: 5 × 4 = 20. Su edad no cambia el contenido. No todos los números de un enunciado tienen que entrar en la cuenta.
Si solo sabemos que hay cinco cajas, no sabemos cuántas fichas contienen. Podrían tener cuatro cada una, diez cada una o estar vacías. Una respuesta precisa necesita información suficiente; no se elige una operación para usar los números disponibles a cualquier precio.
Seleccionar datos por su significado
Una mochila roja cuesta doce euros y contiene tres estuches con dos lápices cada uno. ¿Cuántos lápices contiene?
Seleccionamos los datos de contenido
Tres estuches y dos lápices por estuche determinan la cantidad.
Contamos sin usar un precio como objetos
3 × 2 = 6 lápices.Los doce euros no intervienen.
Contiene 6 lápices.
Sumar el precio al número de lápices mezclaría unidades diferentes.
Reconocer lo que falta
Hay seis bolsas iguales. ¿Cuántas canicas contienen?
Identificamos el dato conocido
Conocemos seis grupos.
Buscamos el contenido que falta
No se dice cuántas canicas tiene cada bolsa. Hay muchas cantidades posibles.
No se puede determinar el total sin saber cuántas canicas tiene cada bolsa.
Con una canica por bolsa serían seis; con dos serían doce. Ambos casos cumplen el dato disponible.
7. Comprobamos la cuenta y también la historia
Si de veinticuatro objetos quitamos siete, deben quedar menos de veinticuatro y no una cantidad negativa. Esa revisión de tamaño permite detectar algunos fallos, pero no elige por sí sola el resultado exacto.
La resta exacta da diecisiete.
Después respondemos «quedan diecisiete objetos», indicando qué cuenta el número. Un resultado sin unidad o de otra pregunta puede no resolver el problema.
Una respuesta imposible por su significado
Había veinte hojas y se usan seis. Se propone que quedan veintiséis. Revisa.
Comparamos con lo que ocurre
Solo salen hojas; no llegan nuevas. No puede quedar más que al principio.
Corregimos y comprobamos
20 − 6 = 14.Al sumar 14 + 6 recuperamos veinte.
Quedan 14 hojas.
El 26 apareció al añadir lo usado en lugar de quitarlo.
Un tamaño razonable aún puede estar equivocado
Para tres cajas de ocho piezas se propone un total de veintitrés. Es mayor que ocho: ¿eso lo comprueba?
Distinguimos revisión aproximada y exacta
Superar el contenido de una caja es necesario, pero también lo cumplen muchos números incorrectos.
Contamos los grupos completos
8 + 8 + 8 = 24.Veintitrés perdería una pieza.
El total correcto es 24 piezas.
Comprobar requiere conservar cada grupo, no solo elegir una cantidad que parezca grande.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Paquetes que llegan y se usan
Una clase recibe 4 paquetes de 12 hojas. Usa 17 hojas. ¿Cuántas quedan?
Explicamos qué se pide
La clase recibe paquetes de hojas y después usa parte de ellas. Buscamos las hojas que quedan.
Calculamos una cantidad intermedia
Cuatro paquetes de doce reúnen 4 × 12 = 48 hojas.Quitamos la cantidad utilizada
48 − 17 = 31 hojas.La resta usa hojas en ambos términos.
Escribimos la expresión completa
4 × 12 − 17 = 48 − 17 = 31.El producto forma primero el total recibido.
Comprobamos la historia
31 que quedan más 17 usadas son 48. Esas 48 coinciden con cuatro paquetes de doce.
Quedan 31 hojas.
La suma 31 + 17 = 48 recupera el total de los cuatro paquetes.
EJEMPLO RESUELTO 2
Repartir después de reunir
Un grupo reúne 18 fichas de una caja y 14 de otra. Las reparte por igual entre 4 personas. ¿Cuántas recibe cada una?
Identificamos el total que falta
Antes de repartir necesitamos reunir las fichas de ambas cajas.
Sumamos las dos partes
18 + 14 = 32 fichas.Repartimos el total por igual
32 ÷ 4 = 8 fichas por persona.Conservamos la agrupación en una expresión
(18 + 14) ÷ 4 = 8.Los paréntesis indican que se reparte la suma completa.
Comprobamos cantidad y unidad
Cuatro personas con ocho fichas reúnen 32, exactamente las 18 y 14 iniciales. Cada persona recibe 8 fichas.
Cada persona recibe 8 fichas.
La expresión completa es (18 + 14) ÷ 4 = 8.
Los símbolos que hemos usado
- Dato
- Información que proporciona el problema.
- Pregunta
- Cantidad o relación que queremos averiguar.
- Paso intermedio
- Resultado que hace falta antes de obtener la respuesta final.
- Paréntesis
- Agrupa una operación que debe resolverse como una unidad.
- Comprobación
- Contraste del resultado con los datos y el sentido del problema.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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