Tenemos paquetes de diez palitos y algunos sueltos. Si no hay suficientes sueltos para retirar los que pide la resta, podemos abrir un paquete que ya teníamos. Vamos a seguir ese cambio con dibujos y columnas, comprobando en cada momento que la cantidad inicial no se altera.
Si necesitas repasar:
1. Puede haber suficiente en total, pero no suficiente suelto
64 significa seis decenas y cuatro unidades. Para quitar 28 necesitamos retirar dos decenas y ocho unidades. Hay más de veintiocho palitos en total, pero las cuatro unidades sueltas no bastan para apartar ocho.
Podemos abrir uno de los seis paquetes de diez. No pedimos objetos nuevos ni cambiamos la cantidad que hay que retirar. Disponemos de otro modo los mismos palitos para poder continuar.
Primero identificamos dónde falta contenido suelto. Esta necesidad no se decide mirando solo si la cantidad completa de arriba es mayor: también importa cómo están organizados sus grupos.
El total alcanza y la columna no
En 64 − 28, explica por qué no basta empezar quitando ocho de las cuatro unidades sueltas.
Leemos lo disponible
64 tiene 6 D y 4 U. La resta pide quitar 2 D y 8 U.
Localizamos la dificultad
Cuatro sueltas son menos que las ocho que deben retirarse en U.
Elegimos un cambio que conserva el inicio
Abriremos una de las decenas para disponer de diez unidades más. El total seguirá siendo 64.
Hace falta abrir una decena; no hace falta aumentar el total inicial.
Los palitos de los paquetes también pertenecen a los 64.
Otro caso de pocas unidades sueltas
En 51 − 24, ¿qué parte necesita cambiar de agrupación?
Leemos las columnas
Tenemos 5 D y 1 U. Queremos quitar 2 D y 4 U.
Comparamos solo lo que está suelto
Una unidad no basta para retirar cuatro.
Proponemos el cambio
Abrimos una decena de las cinco. Sus diez unidades se reunirán con la unidad que ya estaba suelta.
La columna de unidades necesita el contenido de una decena abierta.
La cantidad total 51 supera a 24; la dificultad se resuelve cambiando sus grupos, sin invertir la resta.
2. Abrir una decena conserva su contenido
En 64, una de las seis decenas se abre. Quedan cinco paquetes cerrados. Los diez palitos del paquete abierto se reúnen con los cuatro sueltos: ahora hay catorce unidades.
Antes había 6 D y 4 U; después, 5 D y 14 U. Se llama reagrupar: cambia la organización y permanece la cantidad.
Cada cambio tiene dos partes inseparables: quitamos un grupo del lugar mayor y añadimos su contenido al menor. Si mantuviéramos seis decenas cerradas y además las diez unidades liberadas, estaríamos contando un mismo paquete dos veces.
Seis paquetes pasan a cinco
Reagrupa 64 para disponer de más de cuatro unidades sueltas.
Abrimos un solo paquete
De seis decenas dejamos cinco cerradas.
Reunimos el contenido abierto
Las diez unidades nuevas se juntan con las cuatro iniciales: catorce.
Revisamos el valor
50 + 14 = 64.No hay más palitos que antes, solo más palitos sueltos.
64 = 5 D y 14 U.
60 + 14 sería 74: conservar seis paquetes después de abrir uno alteraría el total.
Abrir aunque al principio no hubiera unidades sueltas
Reagrupa 40 abriendo una decena.
Leemos el inicio
40 contiene 4 D y 0 U. El cero no borra el contenido de los paquetes.
Abrimos una de las cuatro
Quedan 3 D cerradas y salen 10 U.
Comprobamos el mismo total
30 + 10 = 40.La nueva columna U puede tener diez como agrupación de trabajo, aunque no sea una cifra del resultado.
40 = 3 D y 10 U.
Los diez palitos sueltos proceden de un paquete que ya formaba parte de cuarenta.
3. Restamos usando los grupos que quedan después del cambio
Tras reagrupar 64 como 5 D y 14 U, podemos retirar las 8 U del 28. Quedan seis unidades. Después retiramos 2 D de las cinco que siguen cerradas: quedan tres decenas.
El resultado de 64 − 28 es 36. En decenas usamos cinco, porque una de las seis se abrió. La palabra «ahora» es útil: ¿cuántas decenas tengo ahora, después de todos los cambios?
La cantidad inicial se conserva durante la reagrupación y solo disminuye al retirar lo pedido. No confundimos liberar diez palitos de un paquete con añadir diez objetos nuevos.
Después de abrir, quitamos ambas partes
Resuelve 64 − 28.
Disponemos los grupos necesarios
64 = 5 D y 14 U, después de abrir una decena.Quitamos unidades
14 − 8 = 6 U.Quitamos decenas actuales
5 − 2 = 3 D.Con 6 U, quedan 36.
64 − 28 = 36.
36 + 28 = 64: seis y ocho unidades forman una decena y cuatro sueltas; se reúnen con las decenas.
La única unidad inicial recibe diez
Calcula 51 − 24.
Reagrupamos sin perder el total
51 = 4 D y 11 U.Restamos unidades
11 − 4 = 7 U.Restamos las decenas que siguen cerradas
4 − 2 = 2 D.El resultado es 27.
51 − 24 = 27.
27 + 24 produce 11 U y 4 D; la decena formada con unidades devuelve 5 D y 1 U: 51.
4. Las anotaciones sustituyen a los grupos originales
En una resta vertical podemos tachar las cifras que dejan de describir la agrupación y anotar encima las nuevas. Para 64 − 28, sobre el 6 de decenas ponemos 5 y sobre el 4 de unidades ponemos 14.
No leemos esas anotaciones como un número nuevo «514». Significan cinco decenas y catorce unidades. Tampoco las sumamos a las cifras tachadas: las sustituyen.
El número que quitamos conserva sus cifras y su alineación. Solo estamos reorganizando la cantidad inicial. Tras restar, el resultado vuelve a escribirse en sus lugares habituales.
Leer las marcas de trabajo
Resuelve 74 − 38 usando anotaciones.
Anotamos el cambio de decena
74 pasa de 7 D y 4 U a 6 D y 14 U. Se sustituyen el siete y el cuatro originales.
Usamos los valores anotados
14 − 8 = 6 U; 6 − 3 = 3 D.Escribimos el resultado habitual
3 D y 6 U forman 36. Las anotaciones de trabajo no se concatenan con ese resultado.
74 − 38 = 36.
60 + 14 = 74 confirma que las marcas siguen describiendo la cantidad inicial.
Una cifra abajo no se desplaza a decenas
Coloca y calcula 62 − 7.
Alineamos por significado
El 7 cuenta unidades y se escribe bajo el 2.
Reagrupamos la fila superior
62 = 5 D y 12 U.El siete de abajo no cambia.
Restamos con los grupos actuales
12 − 7 = 5 U.De las 5 D no se retira ninguna: quedan 55.
62 − 7 = 55.
Al añadir siete unidades a 55 recuperamos 62.
5. Si no hay decenas, abrimos primero una centena
En 402 − 176 tenemos cuatro centenas, cero decenas y dos unidades. Para disponer de las seis unidades que hay que retirar no podemos abrir una decena que todavía no existe como paquete separado.
Primero abrimos 1 C en 10 D. Quedan 3 C, 10 D y 2 U. Después abrimos una de esas decenas: quedan 3 C, 9 D y 12 U. Ambas agrupaciones siguen valiendo 402.
Ahora retiramos 6 U, 7 D y 1 C: quedan 6 U, 2 D y 2 C, es decir, 226. El cero inicial de decenas no se convierte sin motivo en nueve: diez decenas llegaron de una centena y una de ellas se abrió.
No todo cero exige cambios. Si en su columna no necesitamos retirar nada y los otros lugares ya tienen suficiente, el cero puede permanecer. Decidimos mirando la retirada concreta.
Un cambio que atraviesa el cero
Resuelve 402 − 176.
Abrimos una centena
4 C, 0 D y 2 U pasan a 3 C, 10 D y 2 U.
Abrimos una de las diez decenas
Quedan 3 C, 9 D y 12 U.
El total es 300 + 90 + 12 = 402.Quitamos por columnas
12 − 6 = 6 U; 9 − 7 = 2 D; 3 − 1 = 2 C.Quedan 226.
402 − 176 = 226.
Solo se abrió una centena y una de sus diez decenas; no se añadieron grupos del exterior.
Ceros tanto en decenas como en unidades
Calcula 300 − 64.
Llegamos a decenas
Abrimos una centena: quedan 2 C y 10 D.
Disponemos unidades sueltas
Abrimos una de esas decenas: quedan 2 C, 9 D y 10 U.
Retiramos sesenta y cuatro
10 − 4 = 6 U; 9 − 6 = 3 D; 2 − 0 = 2 C.Quedan 236.
300 − 64 = 236.
200 + 90 + 10 sigue siendo 300 antes de retirar nada.
Un cero que no necesita ayuda
Calcula 306 − 102. ¿Hay que abrir una centena?
Leemos cada retirada
6 − 2 se puede hacer en U; 0 − 0 no exige ninguna decena; 3 − 1 se puede hacer en C.
Restamos sin cambiar grupos
Quedan 4 U, 0 D y 2 C.
Respondemos la pregunta sobre el cambio
El cero intermedio no crea por sí solo una necesidad de reagrupar.
306 − 102 = 204; no hace falta abrir una centena.
204 + 102 = 306 recupera el inicio sin cambios de agrupación.
6. No invertimos una resta ni contamos dos veces el paquete
Si una columna no tiene suficiente, restar la cifra menor de la mayor cambiaría la operación. En 52 − 26 no podemos convertir las unidades 2 − 6 en 6 − 2. Queremos retirar seis de la cantidad inicial.
Reagrupamos para mantener el orden: 52 son 4 D y 12 U; entonces retiramos seis de doce. Después la columna de decenas usa cuatro y no cinco.
Los dos errores frecuentes afectan a partes distintas: invertir la resta cambia qué retiramos; olvidar disminuir las decenas cuenta a la vez un paquete cerrado y su contenido abierto. En ambos casos hay que volver a los grupos que realmente existen.
La diferencia entre cifras no es la resta completa
Una persona calcula 52 − 26 haciendo 6 − 2 = 4 y 5 − 2 = 3. Obtiene 34. Corrige el razonamiento.
Localizamos el cambio ilegítimo
En unidades ha invertido inicio y retirada: seis era lo que debía quitar, no lo que tenía.
Reagrupamos la cantidad inicial
52 = 4 D y 12 U.Ahora sí hay seis unidades disponibles para retirar.
Mantenemos el orden en las dos columnas
12 − 6 = 6 U y 4 − 2 = 2 D.El resultado correcto es 26.
52 − 26 = 26.
26 + 26 = 52; 34 + 26 daría 60 y no recuperaría el inicio.
Un paquete abierto no sigue cerrado
En 63 − 28 se anotan 13 U, pero se siguen usando 6 D y se obtiene 45. ¿Qué se ha contado dos veces?
Reconstruimos esa agrupación incorrecta
6 D y 13 U valen 73, no 63. Se añadieron diez unidades sin descontar su paquete.
Corregimos el número de paquetes
63 = 5 D y 13 U.Terminamos con el total conservado
13 − 8 = 5 U; 5 − 2 = 3 D.Quedan 35.
Se contó dos veces la decena abierta; 63 − 28 = 35.
La diferencia entre 45 y 35 es precisamente el paquete de diez que se olvidó descontar.
7. La comprobación reúne el resultado y lo retirado
Si de 72 retiramos 46 y decimos que quedan 26, tenemos que poder reconstruir 72 reuniendo 26 y 46. Esto comprueba las columnas con una operación distinta.
Al sumar para revisar también respetamos los grupos. Seis unidades y seis unidades dan doce: una decena y dos unidades. La decena formada se reúne con las dos y cuatro decenas de la suma, y recuperamos siete decenas.
Si no vuelve a aparecer la cantidad inicial, el resultado no está verificado. Una diferencia de diez invita a revisar las decenas abiertas; una de cien, los cambios de centena. La suma exacta, además de la idea general de tamaño, decide si hemos recuperado el inicio.
Comprobar explicando la agrupación de la suma
Comprueba el resultado 26 para 72 − 46.
Planteamos la reconstrucción
Sumamos lo que quedó, 26, y lo retirado, 46.
Reunimos unidades y decenas
6 + 6 = 12 U: 1 D y 2 U.Las decenas suman 2 + 4 + 1 = 7 D.Contrastamos con el inicio
7 D y 2 U forman 72. Coincide exactamente con la cantidad inicial.
26 es correcto porque 26 + 46 = 72.
La decena formada al comprobar devuelve la que se abrió durante la resta.
La suma revela una decena de más
Se propone 37 para 50 − 23. Comprueba y corrige.
Probamos la respuesta propuesta
37 + 23 = 60: siete y tres unidades forman una decena, y las decenas suman seis. Sobran diez respecto de 50.
Revisamos la resta
50 = 4 D y 10 U.Quitamos 3 U y 2 D: quedan 7 U y 2 D, es decir, 27.
Repetimos la comprobación con la corrección
27 + 23 = 50: las unidades forman una decena y cero sueltas; las decenas suman cinco.
50 − 23 = 27.
El 37 procedía de conservar una decena que debía abrirse, un error que la suma hace visible.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Prestar una decena a las unidades
Calcula 53 − 27.
Leemos la retirada
En 53 − 27 hay 5 D y 3 U; debemos quitar 2 D y 7 U.
Abrimos una decena y conservamos el total
53 = 4 D y 13 U, porque 40 + 13 = 53.Restamos usando los grupos actuales
13 − 7 = 6 U y 4 − 2 = 2 D.Quedan 26.
Comprobamos reuniendo
26 + 27 = 53: trece unidades forman una decena y tres sueltas; junto a las cuatro decenas iniciales de la suma recuperan cinco decenas.
53 − 27 = 26.
La suma 26 + 27 confirma tanto las unidades como las decenas.
EJEMPLO RESUELTO 2
Un cero entre las columnas
Calcula 302 − 178.
Detectamos el lugar que necesita cambio
302 tiene 3 C, 0 D y 2 U. Dos unidades no bastan para retirar ocho y no hay decenas separadas para abrir.
Llegamos desde centenas hasta unidades
Abrimos una centena: 2 C, 10 D y 2 U. Después abrimos una decena: 2 C, 9 D y 12 U.
Se conserva 200 + 90 + 12 = 302.Retiramos las tres partes
12 − 8 = 4 U; 9 − 7 = 2 D; 2 − 1 = 1 C.El resultado es 124.
Reunimos para verificar
124 + 178: doce unidades dan 1 D y 2 U; diez decenas dan 1 C y 0 D; las centenas suman tres. Recuperamos 302.
302 − 178 = 124.
Los cambios conservan 302: 200 + 90 + 12 = 302.
Los símbolos que hemos usado
- Reagrupar
- Cambiar la organización de una cantidad sin cambiar su valor.
- 1 D = 10 U
- Una decena puede abrirse en diez unidades.
- 1 C = 10 D
- Una centena puede abrirse en diez decenas.
- Resta con reagrupación
- Resta que requiere cambiar un grupo mayor.
- Comprobación
- Resultado más cantidad restada debe recuperar el inicio.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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