Frecuencias relativas y simulación

Si un suceso ocurre k veces en n ensayos, con n > 0, su frecuencia relativa es h = k/n. Es una cuenta de esos ensayos.

Ese valor no redefine automáticamente la probabilidad de la moneda.

P(cara) es el peso que asigna un modelo al resultado antes de observarlo. Si no conocemos ese peso, una frecuencia puede servir de estimación bajo condiciones adecuadas. Otra repetición puede producir otra estimación.

Si cambiamos una moneda por otra, modificamos una bolsa o elegimos casos según el resultado anterior, el mecanismo puede cambiar. Antes de usar una frecuencia para estimar una probabilidad fija, describimos qué permanece igual y cómo se repiten los ensayos.

El modelo básico de repeticiones independientes con la misma probabilidad p es una situación especialmente clara. Sin reposición no se cumple en general: el contenido de la bolsa cambia. Unir todos los registros sin indicar ese cambio puede esconder procesos diferentes.

En repeticiones independientes con una probabilidad fija p de éxito, la frecuencia tiende a estabilizarse cerca de p al aumentar mucho el número de ensayos. Una formulación dice que la probabilidad de alejarse de p más que una tolerancia fija tiende a cero.

Eso no exige que cada nuevo ensayo acerque la frecuencia al valor teórico. Tampoco fija un número de ensayos tras el cual tengamos igualdad exacta. El dibujo muestra una trayectoria posible inventada: tras estar exactamente en un medio, el siguiente éxito la vuelve a alejar.

En el modelo de moneda justa e independiente, después de muchas caras la siguiente cara sigue teniendo probabilidad un medio. La moneda no lleva un contador que compense resultados pasados. Confundir equilibrio de frecuencias con compensación inmediata produce la falacia del jugador.

La independencia es la condición clave. Sin reposición, observar un color sí modifica la bolsa. Una racha también puede motivar revisar si el modelo de moneda justa era adecuado, pero no convierte por sí sola la probabilidad de la siguiente cruz en una certeza.

Para simular una bolsa con dos rojas y tres azules, generamos un entero uniforme del uno al cinco. Asignamos uno y dos a roja, y tres, cuatro y cinco a azul. Las probabilidades son dos quintos y tres quintos, como en una extracción uniforme de esa bolsa.

Todas las salidas del generador deben tener una asignación única. Si elegimos directamente roja o azul con probabilidad un medio, habremos simulado otra bolsa. El parecido de las etiquetas no basta: debe coincidir el reparto.

Para extracciones con reposición bajo selección independiente podemos volver a generar un entero uniforme del uno al cinco en cada ensayo. Sin reposición necesitamos retirar el objeto seleccionado y elegir de entre los restantes. Repetir siempre el mismo reparto inicial simularía otro proceso.

Un programa suele usar un generador pseudoaleatorio. Fijar una semilla permite repetir exactamente la misma secuencia para comprobar el cálculo; no convierte esa secuencia en evidencia independiente adicional. En una simulación estudiamos el modelo programado, no garantizamos que describa el mundo real.

En ensayos independientes con probabilidad p, el error estándar de la frecuencia es √[p(1 − p)/n]. Mide la escala de su variación entre repeticiones del experimento completo, no un límite que ninguna ejecución pueda superar. Para estimarlo se suele sustituir p por h cuando procede.

La dependencia con n es una raíz cuadrada: multiplicar por cuatro el número de ensayos divide esa escala entre dos. Esto no corrige un generador mal mapeado ni una bolsa programada con cantidades equivocadas; solo describe variación aleatoria bajo el modelo indicado.

Un informe mínimo dice cuántos ensayos se hicieron, qué se contó como éxito, cuántos éxitos hubo y qué mecanismo se usó. Indicamos si hubo reposición, independencia, una misma probabilidad y cambios en las condiciones. La fracción exacta evita esconder redondeos.

Una diferencia respecto de un valor teórico puede deberse a fluctuación o a un modelo incorrecto; una sola cuenta no distingue automáticamente ambas explicaciones. Para contrastar un modelo se necesita un procedimiento de inferencia, no declarar sesgo por cualquier desviación de la mitad.