Experimentos aleatorios y sucesos

Un experimento es la acción descrita: por ejemplo, lanzar una vez un dado de seis caras y anotar el número superior. El modelo aleatorio recoge incertidumbre sobre el resultado antes de observarlo. Especificamos el dado, cuántas veces se usa y qué se anota.

Lanzar un dado y anotar su número no es la misma pregunta que anotar solo si es par. Podemos describir la misma acción con distinto detalle. Ese detalle cambia la lista de resultados que usaremos; no cambia por sí solo la acción física.

Llamamos espacio muestral a la lista completa de resultados elementales. Usamos Ω, letra omega.

Las llaves indican un conjunto: cada elemento se escribe una vez.

Un resultado elemental es uno de esos elementos. En dos lanzamientos distinguimos primero y segundo: (cara; cruz) no es (cruz; cara). Un espacio bien construido no deja fuera posibilidades ni cuenta la misma descripción dos veces.

A es un suceso: un subconjunto de Ω. Si sale cuatro, decimos que A ocurre porque cuatro pertenece a A.

Un único resultado observado puede hacer verdaderos varios sucesos. Si sale seis, ocurre «par» y también «mayor que cuatro». No hay contradicción: son preguntas que pueden compartir resultados.

El suceso {5} contiene un único resultado y se llama elemental. El suceso «salir siete» en este dado no contiene ninguno: es el conjunto vacío, ∅. El suceso «salir entre uno y seis» contiene todo Ω y es seguro dentro del modelo.

Imposible se refiere a la descripción elegida. Si cambiamos a un dado de ocho caras, siete ya puede aparecer. Antes de juzgar una condición comprobamos cuál es el experimento y su espacio.

En un modelo finito cada resultado tiene una probabilidad no negativa y la suma de todas es uno. Para un suceso sumamos los pesos de sus resultados distintos. Una probabilidad es un número entre cero y uno, incluidos ambos extremos.

Si el dado es justo, cada cara tiene probabilidad 1/6 y «par» suma 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2. Si no es justo, necesitamos sus pesos. Contar tres caras de seis no basta por sí solo para afirmar un medio.

No exigimos que una probabilidad escrita como fracción tenga numerador estrictamente menor: el suceso seguro vale 1, que también puede escribirse 6/6.

Que una moneda sea justa significa que cada lado tiene probabilidad un medio en el modelo indicado. Que dos lanzamientos sean independientes significa que conocer el primero no cambia las probabilidades del segundo. Para dar un cuarto a cada secuencia de dos monedas justas necesitamos ambas cosas.

Podemos imaginar dos monedas justas que siempre muestran el mismo lado porque el resultado de la segunda copia el de la primera. Cada moneda por separado tiene mitad cara, pero las secuencias CX y XC no ocurren. Ser justas por separado no demuestra independencia.

Contemos caras en dos lanzamientos. CC tiene dos; CX y XC tienen una; XX tiene cero. «Exactamente una» selecciona CX y XC. «Al menos una» añade CC. «Como máximo una» incluye también XX y excluye CC.

Antes de calcular traducimos las palabras a una condición numérica: exactamente k es igual a k; al menos k es mayor o igual que k; como máximo k es menor o igual que k. La igualdad del límite suele ser donde aparecen los errores.

Una respuesta completa indica experimento, espacio, condición seleccionada y modelo probabilístico usado. Revisamos que no se hayan perdido resultados ni duplicado secuencias, y que los pesos del espacio completo sumen uno.

La probabilidad de una cara no garantiza que aparezca exactamente esa proporción en unas pocas tiradas. Un medio no obliga a alternar cara y cruz. La probabilidad describe el modelo antes del resultado; la frecuencia cuenta lo que realmente se observó.