Una red bayesiana organiza variables con flechas y guarda probabilidades en tablas. Aprenderemos primero a leer el dibujo sin inventar números: quién apunta a quién, qué recorridos existen y en qué orden se pueden generar estados. Después comprobaremos las tablas antes de multiplicar.
Si necesitas repasar:
1. Los nodos son variables; las flechas todavía no son probabilidades
Para V={A,B,C,D} y E={(A,B),(B,C),(B,D)}, la pareja ordenada (B,D) significa B→D: origen primero, destino después.
En una red bayesiana cada nodo representa una variable aleatoria. Sus estados y probabilidades se especifican aparte. Una flecha indica una estructura condicional del modelo; la causalidad requiere hipótesis adicionales y no queda probada por dibujarla.
Traducir una pareja
Leer (S,A) y compararla con (A,S).
Primera
(S,A) dibuja S→A.Segunda
(A,S) dibuja A→S; es otra dirección.Números
Ninguna pareja dice P(A)=0,7 ni el valor de una condicional.
El orden de la pareja tiene significado.
Una lista de aristas y una tabla numérica son datos distintos.
Variable, estado y probabilidad
A indica si una alarma suena, con estados Sí y No.
Variable
A nombra la pregunta aleatoria.
Suceso
A=Sí especifica uno de sus estados.Número
P(A=Sí)=0,15 asigna una probabilidad a ese suceso.
A, A=Sí y 0,15 no son objetos intercambiables.
El otro estado tendría probabilidad 0,85 porque A se ha declarado binaria.
2. Un padre llega por una sola flecha
Entonces Y es hijo de X. PA(Y) reúne todos los orígenes de las flechas que terminan en Y, no todos los nodos que estén dibujados arriba.
Un nodo puede tener varios padres; ∅ es un conjunto sin elementos, no una probabilidad cero.
Dos flechas entrantes
En U→T←V, encontrar PA(T).
Buscar puntas
Ambas flechas terminan en T.
Orígenes
Salen de U y V.
Conjunto
PA(T)={U,V}; T es hijo de ambos.
Tiene dos padres directos.
No hay flecha entre U y V solo por compartir un hijo.
Una relación larga no es directa
En A→B→C, ¿A es padre de C?
Flecha a C
La flecha presente es B→C.Ausencia
No aparece A→C.Respuesta
El padre directo es B; A llegará por un camino de dos flechas.
Padres de C: {B}.
El dibujo completo puede contener además A→C, pero habría que indicarlo.
3. Para buscar descendientes seguimos las puntas sin dar marcha atrás
Un descendiente se alcanza por un camino dirigido de longitud positiva.
No incluimos un nodo entre sus propios descendientes.
Desde C no se puede subir a B contra su flecha y bajar a D: ser hermanos en el dibujo no los convierte en descendientes entre sí.
Seguir todos los caminos permitidos
En U→V→W→T, buscar Desc(V).
Primer paso
V alcanza W.
Segundo
Desde W alcanza T.
Excluir
U queda detrás de una flecha inversa y V mismo no se cuenta.
Desc(V)={W,T}.
Una distancia de dos flechas sigue contando como descendencia.
Separar camino dirigido de conexión visual
En U→V←W, ¿W es descendiente de U?
Desde U
Podemos llegar a V.
Siguiente
La arista de W apunta hacia V; no permite salir de V hacia W.
Decidir
No hay camino dirigido de U a W.
Compartir un hijo no crea un recorrido dirigido entre los padres.
Conexión ignorando flechas y descendencia son relaciones distintas.
4. Raíz y hoja describen extremos; acíclico prohíbe volver al inicio
Una raíz no tiene padres; una hoja no tiene hijos.
Un nodo aislado es ambas cosas; puede haber varias raíces.
DAG significa grafo dirigido acíclico. El ciclo prohibido debe seguir las flechas. Un rombo U→V,U→W,V→T,W→T tiene un circuito si borramos direcciones, pero no un ciclo dirigido.
Agregar una flecha peligrosa
Añadir C→A al grafo A→B→C.
Recorrer
A→B→C usa flechas existentes.Cerrar
C→A devuelve a A siguiendo direcciones.Conclusión
Hay un ciclo dirigido y deja de ser DAG.
El recorrido vuelve al mismo nodo sin invertir flechas.
No se arregla cambiando las posiciones de los círculos.
Un rombo permitido
Usar U→V,U→W,V→T,W→T.
Raíz
U no recibe flechas.
Hoja
T no tiene salidas.
Ciclos
Todos los caminos van de U hacia T y ninguno vuelve a U.
Es DAG aunque la figura tenga un contorno cerrado.
V y W son intermedios, no hojas.
5. Un orden topológico coloca cada padre antes de sus hijos
Para generar estados desde las tablas necesitamos conocer antes los estados de los padres. A,B,C,D y A,B,D,C son órdenes válidos para nuestro grafo: C y D pueden intercambiarse.
Todo DAG finito tiene una raíz. Si cada nodo tuviera un padre, seguir padres acabaría repitiendo un nodo y formaría un ciclo. Retirar una raíz y repetir construye un orden topológico; no exige que ese orden sea único.
Comprobar un orden propuesto
En el rombo anterior, probar U,W,V,T.
Padres intermedios
U aparece antes de W y V.
Último
T aparece después de ambos padres.
Decidir
Cada flecha va de una posición anterior a una posterior.
El orden es válido.
U,V,W,T también lo es: no hay relación de precedencia entre V y W.
Detectar un fallo
Probar A,C,B,D en A→B,B→C,B→D.
Primera flecha
A aparece antes que B: esa cumple.
Segunda
C aparece antes que su padre B: falla.
Corregir
Mover B antes de C y D permite leer sus tablas.
Basta una flecha invertida en el orden para invalidarlo.
No basta con que la raíz esté al principio.
6. La tabla del hijo cambia de fila cuando cambia el padre
Una raíz tiene una distribución sin padres. Para un hijo, cada configuración de sus padres necesita su propia distribución. En un modelo inventado A→S, ambos binarios, podemos declarar P(A=Sí)=0,4 y P(A=No)=0,6.
La barra se lee «dado»: primero seleccionamos el estado parental y después el resultado de S.
Leer la fila correcta
Buscar P(S=No|A=Sí).
Condición
El padre vale Sí, así seleccionamos su fila.
Columna
La consulta pide S=No.Entrada
La celda correspondiente es 0,25.
La respuesta se lee después de fijar ambos estados.
El 0,90 pertenece a la otra condición parental.
Una raíz sin condición
Leer la distribución de A.
Estado Sí
Su probabilidad declarada es 0,4.
Estado No
Como es binaria, vale 1−0,4=0,6.Distinguir
Estos números no se obtienen sumando las filas de S.
La raíz aporta sus propios datos.
El grafo sin tablas no permitía deducir 0,4.
7. Validamos una distribución por cada configuración de padres
Una CPT válida tiene entradas en [0,1] y suma uno sobre los estados del hijo al fijar los padres.
La suma completa da dos porque son dos condiciones distintas.
Si un hijo tiene r estados y padres de d₁,…,dₖ estados, necesita d₁⋯dₖ filas con r entradas cada una. Una raíz tiene una sola configuración parental vacía. No rellenamos automáticamente filas ausentes con valores inventados.
Contar las filas antes de rellenarlas
Un hijo binario con padres de dos y tres estados.
Combinar
Dos opciones del primer padre por tres del segundo: seis condiciones.
Entradas
Cada condición contiene dos estados del hijo: doce celdas.
Validar
Cada una de las seis filas debe sumar uno.
Seis filas no significa seis estados del hijo.
El número de parámetros libres sería seis, porque cada fila binaria tiene un complemento.
Una fila que no sirve
Se proponen probabilidades 0,7, 0,4 y −0,1.
Suma
Suman uno, pero eso no es suficiente.
Rango
−0,1 es negativa y no puede ser probabilidad.
Conclusión
La fila es inválida y debe corregirse a partir del modelo.
La suma y el rango se comprueban por separado.
Tampoco serviría una fila positiva 0,6 y 0,6, porque sumaría 1,2.
8. Una configuración completa toma un factor de cada nodo
Los productos describen estados completos diferentes.
La siguiente lección justificará que ese producto define una conjunta normalizada para un DAG con tablas válidas. Antes de calcular, distinguimos variable, estado y probabilidad, y comprobamos que cada factor usa los padres de esa misma configuración.
Un estado completo
Calcular A=Sí,S=No en el modelo inventado.
Raíz
P(A=Sí)=0,4.Hijo
P(S=No|A=Sí)=0,25.Producto
0,4·0,25=0,10.
La conjunta de ese estado vale 0,10.
Sumada con 0,30 recupera la marginal P(A=Sí)=0,4.
No sumar factores de un mismo caso
Calcular A=No,S=No.
Entradas
Leemos 0,6 de la raíz y 0,90 de la fila correspondiente.
Operación
Multiplicamos: 0,6·0,90=0,54.Control
Las cuatro conjuntas 0,30,0,10,0,06,0,54 suman uno.
0,54 es una conjunta; 0,6+0,9 no lo sería.
La suma se usa para reunir estados distintos, no factores del mismo estado.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Leer una familia sin invertir flechas
En A → B, B → C y B → D, identifica los padres de D, los descendientes de A, las hojas y un orden topológico.
Fijar las flechas
A→B, B→C y B→D.Padres de D
Solo B apunta directamente a D: PA(D)={B}.Primer descendiente de A
Seguimos A→B y alcanzamos B.Continuar
Desde B alcanzamos C y D: Desc(A)={B,C,D}.Hojas
C y D no tienen hijos.
Orden
A,B,C,D pone todos los padres antes de los hijos; A es antepasado de D, no padre directo.
PA(D) = {B}; Desc(A) = {B, C, D}; hojas C y D; un orden es A, B, C, D.
A es antepasado de D, pero no su padre directo: distinguir esas dos relaciones evita el error principal.
EJEMPLO RESUELTO 2
Completar y revisar una tabla binaria
Un nodo binario M tiene padre L. Para L = Sí se da P(M = Sí | L = Sí) = 0,80; para L = No se da P(M = Sí | L = No) = 0,20. Completa los estados No y comprueba las filas.
Fijar la condición Sí
P(M=Sí|L=Sí)=0,80.Completar
P(M=No|L=Sí)=1−0,80=0,20.Fijar la condición No
P(M=Sí|L=No)=0,20.Completar
P(M=No|L=No)=1−0,20=0,80.Validar por filas
Ambas suman uno y tienen entradas entre cero y uno.
Interpretar el total
La CPT entera suma dos porque reúne dos distribuciones condicionadas.
Las entradas faltantes son 0,20 y 0,80; ambas filas son válidas.
La suma de toda la CPT es 2 porque contiene dos distribuciones, una para cada valor de L.
Los símbolos que hemos usado
- Γ = (V, E)
- Un grafo queda definido por su conjunto de nodos V y su conjunto de flechas E.
- (A, B)
- Pareja ordenada que representa A → B: primero origen, después destino.
- PA(X)
- Padres de X: nodos que apuntan directamente a X.
- Desc(X)
- Descendientes de X: nodos alcanzables mediante un camino dirigido de longitud positiva.
- DAG
- Grafo dirigido acíclico: no podemos volver al inicio siguiendo un ciclo de flechas.
- CPT
- Tabla de probabilidad condicional de un nodo para cada configuración de sus padres.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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