Sistemas lineales de dos incógnitas

Ambas son verdaderas, así que (4; 2) es solución del sistema.

La pareja (1; 5) cumple la suma seis, pero su diferencia es −4, no dos. No es solución del sistema. Debemos conservar los valores en todas las ecuaciones y respetar el orden de la pareja: primero x y después y. 2×2 indica dos ecuaciones y dos incógnitas.

Una ecuación ax + by = c, con a y b no ambos cero, dibuja una recta en el plano. Cada punto de esa recta es una pareja que cumple la ecuación. El dibujo muestra nuestras dos condiciones; el punto en que coinciden cumple las dos.

Dos rectas pueden cortarse una vez, ser paralelas distintas o coincidir por completo. Eso corresponde a una solución, ninguna o infinitas. Si una fila es 0x + 0y = 0, no representa una sola recta: admite todo el plano.

Esos casos se interpretan aparte.

Esa igualdad permite reemplazar x en la otra ecuación: x + y = 6 pasa a (y + 2) + y = 6. Los paréntesis guardan el bloque completo que ocupa el lugar de x.

Hallar y no termina el sistema: todavía hay que recuperar x y comprobar la pareja en las dos ecuaciones originales.

Si tenemos y = 2x + 1 y y = −x + 7, los dos miembros derechos deben ser iguales porque ambos representan la misma y.

La igualación es cómoda cuando ambas ecuaciones ya tienen, o permiten despejar fácilmente, la misma variable. Si una expresa x y la otra y, primero despejamos una variable común; no igualamos cantidades distintas solo por estar a la derecha del signo igual.

No estamos borrando y sin razón: su coeficiente total al sumar es cero.

Si no hay coeficientes opuestos, multiplicamos una o las dos ecuaciones completas por números no nulos. La combinación elegida sustituye una ecuación mientras conservamos otra independiente para recuperar la incógnita eliminada. Quedarse solo con la suma perdería información.

Si al eliminar queda una ecuación como 0 = 0, esa fila no añade una condición. Conservamos y leemos la otra. Por ejemplo, x + y = 2 y 2x + 2y = 4 representan la misma recta: hay infinitas parejas, pero todas tienen suma dos.

Si al eliminar aparece 0 = 1, hay contradicción y el sistema no tiene solución. Una pareja que cumpla solo la otra fila no puede arreglarla. Cuando queda una incógnita con coeficiente no nulo, la resolvemos y recuperamos la segunda: entonces hay una única pareja.

El determinante de sus coeficientes es D = ad − bc: producto de una diagonal menos producto de la otra. Si D ≠ 0, el sistema tiene una única pareja solución.

La razón sale de reducción: multiplicamos la primera por d y la segunda por b, y restamos.

Podemos dividir por D solo cuando no sea cero.

Si D = 0, no dividimos: clasificamos el sistema con las ecuaciones que queden.

Una variable ya despejada favorece sustitución. Dos expresiones de la misma variable favorecen igualación. Coeficientes opuestos, o fáciles de hacer opuestos, favorecen reducción. Los métodos deben llegar al mismo conjunto de parejas porque transforman las mismas condiciones.

Al terminar, sustituimos x e y en cada ecuación original por separado. Si una falla, la pareja no resuelve el sistema. Podemos revisar dónde se perdió un signo, un paréntesis o el factor de un término independiente. No basta comprobar solo la ecuación que usamos al final para recuperar la segunda variable.

Si queda una ecuación genuina como x + y = 3, existe una libertad real: x = t e y = 3 − t. Si las dos filas son identidades 0 = 0, no queda ninguna restricción y cualquier pareja real sirve; entonces sí hay dos valores libres.

Si aparece una fila imposible, como 0x + 0y = 4, el sistema no admite parejas, aunque la otra fila sea una identidad. Las palabras compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible nombran, respectivamente, una solución, infinitas y ninguna. La clasificación describe el conjunto de soluciones; no sustituye su escritura cuando puede expresarse.