Ecuaciones trigonométricas

La incógnita x representa un ángulo. En esta lección, si no se indica grados, trabajamos en radianes. Una respuesta en [0; 2π) incluye cero y excluye 2π. Una respuesta para todos los reales necesita familias que repitan vueltas, no solo una lista de una vuelta.

Antes de operar anotamos el dominio: tan x requiere cos x ≠ 0; una fracción no puede tener denominador cero.

Si al despejar sale un valor fuera de ese rango, no hay ángulos reales que lo produzcan.

sen x = √3/2 pide puntos unitarios con altura √3/2. En el dibujo hay dos: π/3 y 2π/3. Uno queda a la derecha y el otro a la izquierda. Las vueltas completas repiten las dos posiciones.

Para sen x = c, con −1 ≤ c ≤ 1, llamamos α = arcsen c a la respuesta principal entre −π/2 y π/2. Las familias son x = α + 2kπ y x = π − α + 2kπ, con k cualquier entero. En los extremos c = ±1 coinciden familias y quitamos duplicados.

Si la altura es negativa, buscamos los puntos por debajo del eje horizontal. La respuesta principal negativa puede convertirse en una dirección positiva sumando 2π; no se cambia el signo del valor de seno.

Si β = arccos c está entre 0 y π, sus familias son x = β + 2kπ y x = −β + 2kπ. En una vuelta pueden escribirse β y 2π − β; en c = ±1 se eliminan duplicados.

tan x = t se repite cada media vuelta porque x e y cambian de signo juntos.

Para t real estas direcciones tienen coseno no nulo, como exige el dominio de tangente.

No usamos sin más las dos direcciones de seno para una ecuación de coseno o tangente: cada función conserva una simetría diferente.

Si t = 0, no hay solución: el recíproco de un número no nulo no es cero. Para cosecante hacemos lo mismo con seno.

La ecuación cot x = 0 pide cos x = 0 con seno no nulo; no se convierte en tan x = 1/0. Por ejemplo, csc x = −1 equivale a sen x = −1 y en una vuelta da 3π/2.

Para listar solo los del intervalo, probamos los enteros k que pueden situarla dentro de sus extremos. No sumamos una sola vuelta por costumbre: un intervalo largo puede contener muchas.

En [0; 2π) salen 0 y π, pero en (0; 2π] salen π y 2π. La ecuación es la misma; cambió el conjunto donde buscamos.

En 2sen²x − sen x = 0 sacamos factor común: sen x(2sen x − 1) = 0. Un producto es cero si al menos uno de sus factores lo es.

Si dividiéramos por sen x sin separar el caso cero, borraríamos precisamente las soluciones de la primera rama. Esta precaución es la misma que en una ecuación algebraica con un factor x: una expresión que depende de la incógnita podría valer cero.

Si aparece solo seno y sus potencias, ponemos u = sen x. La ecuación se transforma en una ecuación algebraica para u. Después rechazamos u fuera de [−1; 1] y resolvemos la ecuación trigonométrica de cada valor restante.

Elevar una igualdad al cuadrado puede introducir candidatos nuevos porque borra signos. Por ejemplo sen x = cos x implica sen²x = cos²x, pero la igualdad cuadrada también permite seno y coseno opuestos. Al cuadrar, al final volvemos a comprobar el signo en la igualdad original.

Si x recorre [0; 2π), entonces t recorre [0; 4π): dos vueltas. Resolver t solo en una vuelta perdería la mitad de las posibilidades.

La periodicidad en x se ha reducido a π.

Para una entrada x − a, despejamos esa entrada y después sumamos a. El intervalo original se revisa sobre x al final, no solo sobre el ángulo intermedio.

Una lista de candidatos no es todavía una solución completa si no revisamos dominio, intervalo y pasos que solo implicaban en un sentido. Comprobamos cada candidato en la ecuación original, especialmente después de cancelar, multiplicar por denominadores o elevar al cuadrado.

Para justificar que no falta nadie, explicamos todas las ramas de la factorización, las dos posiciones del seno o coseno y los periodos que caben en el intervalo. La comprobación directa garantiza validez; el razonamiento por ramas garantiza que la lista es exhaustiva.