Teoremas del seno y del coseno

Llamamos A, B y C a los vértices y también a sus ángulos interiores. El lado a queda enfrente de A: es BC. El lado b es AC y queda enfrente de B. El lado c es AB y queda enfrente de C. Una pareja completa es, por ejemplo, conocer a y A.

No importa empezar a nombrar desde la izquierda o desde arriba; importa mantener la correspondencia. El ángulo entre los lados b y c es A, porque esos dos lados se encuentran en A. Decir «ángulo incluido» señala precisamente ese encuentro.

Los ángulos interiores son positivos y suman 180°. Las longitudes son positivas y cada una debe ser menor que la suma de las otras dos. Estas condiciones se revisan antes de aceptar una cuenta.

Trazamos la altura h desde C hasta la recta AB.

Dividiendo por los senos positivos de los ángulos interiores obtenemos a/sen A = b/sen B.

Repitiendo con otra altura incluimos el tercer lado: a/sen A = b/sen B = c/sen C. Si un ángulo es obtuso y el pie de la altura cae fuera, interviene su suplementario y se usa sen(180° − A) = sen A; la relación se mantiene.

Todos los cocientes emparejan un lado con el seno del ángulo opuesto. No ponemos el lado a sobre sen B porque el dibujo parezca más cómodo. También pueden invertirse todos los cocientes, pero siempre en el mismo sentido.

Con dos ángulos y un lado, hallamos el tercer ángulo restando a 180°. Después la ley de senos usa la pareja del lado conocido con su opuesto para obtener los otros lados. Los ángulos fijan la forma semejante y el lado conocido fija la escala.

Con dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos también podemos obtener un seno desconocido, pero puede haber dos ángulos con ese seno. Lo revisaremos en el caso ambiguo. La función arcsen de calculadora devuelve solo una rama, no siempre el único ángulo del triángulo.

La proyección horizontal de b mide b cos A = 2,5 y la altura b sen A. Desde el pie de la altura hasta B queda c − b cos A. Esos dos tramos perpendiculares forman un triángulo cuya hipotenusa es a.

Desarrollamos: b²sen²A + c² − 2bc cos A + b²cos²A.

Si A es obtuso, su coseno es negativo y la proyección queda al lado contrario; la fórmula con coordenadas conserva el signo correcto. Las otras versiones se obtienen cambiando las letras con su correspondencia.

Con dos lados y el ángulo que forman, la ley de cosenos da el tercero. Con tres lados, despejamos el coseno del ángulo opuesto: cos A = (b² + c² − a²)/(2bc). Después arccos entrega el ángulo interior entre 0° y 180°, sin la ambigüedad de seno.

Conviene hallar primero el ángulo opuesto al lado mayor: debe ser el mayor. Al tener tres lados podemos seguir con cosenos para otro ángulo y restar el tercero a 180°. Mantener más cifras durante el cálculo evita errores de redondeo acumulados.

La calculadora ofrece B₁ ≈ 53,13°, pero también B₂ = 180° − B₁ ≈ 126,87° tiene seno 4/5.

Los dos dejan C positivo y producen dos triángulos. El dibujo muestra las dos posiciones posibles del vértice de base. No son dos nombres para la misma figura.

Si el seno calculado supera uno, no hay triángulo. Si cabe, siempre comprobamos el ángulo principal y su suplementario, eliminando los que hagan A + B ≥ 180° y quitando duplicados cuando B = 90°. Para un A agudo, la altura b sen A ayuda a visualizar si el lado a llega o no a la base.

El área es base por altura dividido entre dos. Tomando c como base y h = b sen A como altura, obtenemos Δ = bc sen A/2. Usamos Δ para no confundir el área con el ángulo A.

El ángulo debe ser el incluido entre esos dos lados. Para un ángulo interior entre cero y 180°, el seno es positivo y el área también. Si usamos el suplementario al trazar una altura exterior, el seno coincide y la cuenta conserva el área.

Como comprobación, el lado mayor tiene el ángulo mayor enfrente, los tres interiores suman 180° y las unidades de área son cuadradas. Estas revisiones no reemplazan una ley, pero pueden detectar datos cruzados o un ángulo suplementario mal elegido.

Los factores deben proceder de un triángulo no degenerado; las desigualdades triangulares hacen que sean positivos.

La fórmula se conecta con las anteriores: al cuadrar Δ = bc sen A/2 y usar sen²A = 1 − cos²A, sustituimos cos A = (b² + c² − a²)/(2bc).

La diferencia de cuadrados se factoriza como (a + b + c)(−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c). Cada factor es dos veces s, s − a, s − b o s − c. El factor 16 se cancela y aparece Herón.

Así no es una fórmula aislada: deriva de área y cosenos.

Con dos ángulos y un lado, completamos el tercero y usamos senos. Con dos lados y el incluido, empezamos por cosenos. Con tres lados, cosenos para un ángulo o Herón si solo se pide área. Con dos lados y un ángulo no incluido, revisamos las dos ramas del seno.

No redondeamos los senos o cosenos intermedios si podemos conservar raíces o más cifras. Al terminar, sustituimos en la ley usada y verificamos suma de ángulos, desigualdades triangulares, mayor lado frente a mayor ángulo y unidad final.

Si solo se pide una medida, una solución clara puede detenerse al obtenerla y comprobarla. «Resolver el triángulo» sí pide todos sus lados y ángulos faltantes; por eso leemos el verbo del enunciado antes de empezar.