Suma de ángulos y ángulo doble

Un ángulo α seguido de un giro β llega a la dirección α + β. Las coordenadas del punto final son cos(α + β) y sen(α + β), no la suma automática de las coordenadas iniciales. La suma ocurre dentro del ángulo de entrada.

Por ejemplo, 30° + 30° = 60°, pero sen 60° = √3/2 mientras sen 30° + sen 30° = 1. Es un primer control para no distribuir una función sobre una suma como si fuera una multiplicación.

Las letras α y β se leen alfa y beta y nombran ángulos. Su unidad debe ser la misma. Las identidades que construiremos valen para ángulos reales generales, no solo agudos.

Las relaciones son sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β y cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β. Cada producto conserva qué función corresponde a qué ángulo. En el seno hay suma de productos cruzados; en el coseno, diferencia de productos de la misma función.

Podemos elegir descomposiciones como 75° = 45° + 30° o 105° = 60° + 45° porque conocemos los valores exactos de cada parte. Primero escribimos la identidad y después sustituimos, para no cambiar un signo de memoria.

En el siguiente apartado justificaremos estas relaciones con distancias y giros. Las fórmulas no dependen de que las dos piezas del ángulo sean positivas: las simetrías de seno y coseno permiten usar también diferencias.

Tomamos dos puntos del círculo unitario: P = (cos α; sen α) y Q = (cos β; sen β). La distancia al cuadrado es d² = (cos α − cos β)² + (sen α − sen β)². Al desarrollar y usar dos veces la identidad fundamental queda d² = 2 − 2(cos α cos β + sen α sen β).

Giramos todo el dibujo −β. Las distancias se conservan. Q queda en (1; 0) y P en la dirección α − β. La misma distancia se calcula ahora como d² = [cos(α − β) − 1]² + sen²(α − β) = 2 − 2cos(α − β).

Igualamos las dos expresiones de la misma distancia y simplificamos: cos(α − β) = cos α cos β + sen α sen β. Este argumento usa ángulos generales, no solo los 75° y 30° que ilustran el dibujo.

Sustituir β por −β y usar cos(−β) = cos β, sen(−β) = −sen β da la fórmula del coseno de una suma. Para el seno usamos sen t = cos(90° − t): aplicamos el coseno de una diferencia a (90° − α) − β y obtenemos los dos productos cruzados.

En radianes, ese 90° se escribe π/2.

Escribimos α − β como α + (−β). El seno del ángulo negativo cambia de signo y el coseno se conserva. Así sen(α − β) = sen α cos β − cos α sen β y cos(α − β) = cos α cos β + sen α sen β.

El cambio de signo aparece en el término correspondiente, no en toda la expresión sin más. Una buena revisión compara el cuadrante del ángulo final con el signo obtenido.

Ponemos β = α en la fórmula de suma: sen(2α) = sen α cos α + cos α sen α = 2sen α cos α. El dos multiplica al producto de ambos valores, no solo al seno.

La identidad vale aunque alguno de los factores sea cero o negativo, porque no hemos dividido. Si sabemos seno pero no el signo del coseno, puede faltar información para determinar el signo de sen(2α).

La suma de coseno con β = α da cos(2α) = cos²α − sen²α.

Las tres formas son la misma identidad. Elegimos la que use los datos disponibles sin calcular una raíz innecesaria. Para coseno doble, conocer sen²α o cos²α basta; el signo de la razón original desaparece al cuadrar.

Dividimos sen(α + β) entre cos(α + β). Si cos α y cos β no son cero, podemos dividir además numerador y denominador entre cos α cos β y obtenemos tan(α + β) = (tan α + tan β)/(1 − tan α tan β).

Además, el denominador 1 − tan α tan β debe ser no nulo para que exista la tangente de la suma. La fórmula usa las tangentes individuales, así que no se puede aplicar si alguna de ellas no existe, aunque la tangente final pudiera existir.

Para la diferencia, tan(α − β) = (tan α − tan β)/(1 + tan α tan β), con las condiciones correspondientes. Mantener paréntesis evita dividir solo el último término por el denominador.

Se necesita que tan α exista y que 1 − tan²α ≠ 0. Esta condición se corresponde con cos(2α) no nulo bajo la primera hipótesis.

A veces conviene usar seno y coseno del doble directamente para evitar una fórmula intermedia fuera de dominio. Por ejemplo, para α = 90° no existe tan α, pero tan(2α) = tan 180° = 0 sí existe. La fórmula escrita con tan α no sirve para calcular ese caso.

Aplicamos cos α = 1 − 2sen²(α/2) y despejamos: sen²(α/2) = (1 − cos α)/2.

Al sacar raíz hay que elegir el signo según el cuadrante de α/2. La raíz principal da una magnitud positiva y no decide el signo de una razón trigonométrica. Para 0° < α < 180°, el medio ángulo es agudo y ambas raíces se toman positivas.

También tan(α/2) = sen α/(1 + cos α), donde 1 + cos α ≠ 0. La variante (1 − cos α)/sen α tiene una exclusión adicional cuando sen α = 0; no se intercambian sin revisar sus dominios.

Antes de operar, elegimos una descomposición con valores que conozcamos. Después revisamos signos y productos. Los valores de seno y coseno deben estar entre −1 y 1; el signo final debe coincidir con el cuadrante del ángulo compuesto.

Una evaluación numérica sirve para revisar una cuenta, pero la validez para todos los ángulos procede de las identidades demostradas. Si aparece una tangente, comprobamos su dominio antes de calcular. Para una raíz de medio ángulo volvemos al signo de la dirección final.