Una aproximación algebraica dice qué términos se conocen y qué error se permite. La completación reúne aproximaciones de todos los niveles que coinciden entre sí. Veremos cómo aparecen las series formales y los enteros p-ádicos, por qué las flechas reducen precisión y cuándo el anillo original puede perder información al entrar en su completación.
Si necesitas repasar:
1. Una filtración declara qué errores se consideran pequeños
Una filtración descendente es una familia de ideales cada vez menores. La filtración I-ádica usa R, I, I², I³,… . Coincidir módulo Iⁿ significa que la diferencia pertenece a Iⁿ; aumentar n exige más precisión.
En k[x], con I=(x), un error en Iⁿ no tiene términos de grado menor que n.
Aquí pequeño se refiere a esa regla, no a su valor absoluto real.
Leer el orden de un error polinómico
f=1+2x+3x²+4x³, g=1+2x en Q[x].
Restar
f−g=3x²+4x³=x²(3+4x).Nivel
La diferencia está en (x²), pero no en (x³), porque el coeficiente de x² es tres.
Lectura
Coinciden módulo x² y se distinguen al mirar módulo x³.
Conocer más grados puede separar aproximaciones antes iguales.
La ausencia de términos bajos es una prueba exacta.
Un error real grande puede ser muy pequeño en otra filtración
Comparar once y tres con I=(2).
Diferencia
11−3=8=2³.Precisión
Coinciden módulo ocho y por tanto también módulo cuatro y dos.
Límite
No coinciden módulo dieciséis. Su distancia real ocho no decide su precisión dos-ádica.
La noción de aproximación depende del ideal elegido.
No se afirma que once y tres sean el mismo entero.
2. Las reducciones van de mayor precisión a menor precisión
Si dos representantes difieren por Iⁿ⁺¹, también difieren por Iⁿ, así que la reducción está bien definida.
Una familia compatible debe respetar todas esas flechas: reducir el nivel n+1 da el nivel n. No se están incluyendo unos cocientes dentro de otros. Verificar los niveles consecutivos garantiza, por composición, los saltos de varios niveles.
Eliminar el último coeficiente sin cambiar los anteriores
1+2x+3x² módulo x³.
Bajar un nivel
Módulo x² desaparece 3x² y queda 1+2x.
Bajar otro
Módulo x desaparece también 2x y queda uno.
Coherencia
Los tres residuos son compatibles. La reducción directa del primero al tercero también da uno.
Las aproximaciones más precisas conservan los datos anteriores.
No se transforma 2x en otro coeficiente al truncar.
Dos clases válidas pueden ser incompatibles entre sí
Uno módulo dos y cero módulo cuatro.
Cada nivel
Ambas son clases correctas en sus cocientes respectivos.
Reducir
Cero módulo cuatro reduce a cero módulo dos.
Comparar
No coincide con el uno elegido en el primer nivel. Esta pareja no inicia una familia compatible.
La pertenencia a cada cociente no basta: falta la compatibilidad.
No hay entero que sea simultáneamente impar y múltiplo de cuatro.
3. El límite inverso es una familia completa, no una lista de elecciones libres
La completación es 
: sus elementos son familias r_n compatibles en todos los niveles. Se suma y multiplica coordenada a coordenada. Las reducciones son homomorfismos y por eso las familias resultantes vuelven a ser compatibles.
Puede haber familias que no procedan de ningún elemento original. Tampoco unos pocos niveles determinan una familia única: hace falta una regla para continuarlos o una construcción en todos los niveles.
Un sistema puede no proceder de un polinomio
s_n=1+x+⋯+xⁿ⁻¹ módulo xⁿ.
Compatibilidad
Al pasar del nivel n+1 al n solo desaparece xⁿ; queda s_n.
Todos los niveles
La fórmula especifica un residuo para cada n≥1.No polinomio
Un polinomio tiene grado finito d. El nivel d+2 de la familia exige un coeficiente uno en xᵈ⁺¹ que ese polinomio no tiene.
La familia define una serie formal nueva respecto de k[x].
La comparación usa igualdad de coeficientes, no convergencia analítica.
Los primeros tres residuos no determinan un único entero dos-ádico
Uno módulo dos, tres módulo cuatro y siete módulo ocho.
Compatibles
Siete reduce a tres y tres a uno.
Dos continuaciones
El entero siete y el entero menos uno comparten esos tres residuos.
Diferencia posterior
Módulo dieciséis sus residuos son siete y quince. Para fijar menos uno hay que dar la regla 2ⁿ−1 en todos los niveles.
Compatibilidad finita no es especificación infinita única.
La familia completa de un entero concreto sí define su imagen canónica.
4. La aplicación original es inyectiva exactamente cuando no hay un error invisible en todos los niveles
Un elemento r llega a cero en la completación si todos sus residuos son cero. Su núcleo es, por tanto, la intersección de todas las Iⁿ. La filtración se llama separada cuando esa intersección es cero.
No toda completación incluye inyectivamente al anillo original. En el marco noetheriano local, para un módulo finitamente generado y un ideal contenido en el maximal, el teorema de intersección de Krull asegura separación. Las condiciones son parte del resultado.
Una filtración estacionaria puede borrar un factor entero
R=k×k e I=k×{0}.
Potencias
I²=I: cada (a,0) es (a,0)(1,0).Todas las potencias son iguales.
Cocientes
Cada R/Iⁿ es el segundo factor k, con reducciones identidad.
Mapa
La completación es k y el mapa (a, b)↦b mata todo I. Su núcleo no es cero.
Completar no siempre conserva los elementos originales distintos.
El ideal no está contenido en todos los maximales de este anillo.
La filtración por x sí separa polinomios
R=k[x] e I=(x).
Polinomio no nulo
Sea d el menor grado con coeficiente no cero en f.
Nivel que detecta
f no es divisible por xᵈ⁺¹. Su residuo módulo esa potencia no es cero.
Intersección
Ningún polinomio no nulo pertenece a todas las potencias de x.
El mapa k[x]→k[[x]] es inyectivo.
Cada polinomio no nulo se ve a alguna precisión finita.
Esta prueba directa no necesita el teorema general de Krull.
5. Una serie formal fija coeficientes; no exige sustituir números
Cada clase módulo xⁿ tiene representante único de grado menor que n. Una familia compatible determina coeficientes a₀, a₁,… que no cambian al subir de nivel. Eso identifica la completación con k[[x]].
La suma se hace por coeficientes y el coeficiente de xⁿ en el producto es 
. Es una suma finita, por lo que no necesita convergencia. Evaluar después x en un número real o complejo es otra operación y necesita condiciones propias.
Calcular un producto usando solo los términos necesarios
A=1+2x+3x²+⋯ y B=1−x en Q[[x]], módulo x³.
Constante
El coeficiente de grado cero es 1·1=1.Grado uno
Se suman 2·1 y 1·(−1): queda uno.
Grado dos
Se suman 3·1 y 2·(−1): queda uno. Por tanto AB≡1+x+x² módulo x³, sin conocer términos superiores.
Los datos de grado alto no intervienen en este truncamiento.
Ningún producto de grados no negativos altos puede contribuir a un grado menor.
Una serie formal puede carecer de interpretación como función cerca de cero
A=∑n!xⁿ sobre Q.
Formal
La lista de coeficientes n! define un elemento de Q[[x]].
Producto
Cada coeficiente de A² es una suma finita de factoriales y está bien definido.
Analítico
Para cualquier x real no nulo, el cociente de magnitudes de términos consecutivos es (n+1)|x|, que acaba siendo mayor que uno. Los términos no tienden a cero y la serie no converge.
Existir formalmente no implica converger al evaluar.
En x=0 sí queda el término constante uno.
6. Una serie es unidad si y solo si su término constante lo es
En cada grado n≥1, el coeficiente contiene a₀b_n más términos ya conocidos: se resuelve de forma única para b_n.
Si a₀=0, todo producto tiene constante cero y no puede dar uno. Así el maximal de k[[x]] es (x). La serie geométrica da la inversa de 1−x por identidades de truncamientos, sin imponer |x|<1 a una variable formal.
La inversa geométrica se verifica a cada nivel
A=1−x.
Truncar
Sea B_n=1+x+⋯+xⁿ⁻¹.Multiplicar
(1−x)B_n=1−xⁿ, congruente con uno módulo xⁿ.Todos los niveles
Los B_n son compatibles y dan B=1+x+x²+… .El producto formal exacto es uno.
B es la inversa formal de 1−x.
La identidad se interpreta en k[[x]], incluso en característica positiva.
Resolver sucesivamente un inverso menos inmediato
A=1+2x+x² en Q[[x]].
Inicio
b₀=1 y b₁+2b₀=0, luego b₁=−2.Grado dos
b₂+2b₁+b₀=0 da b₂=3.Grado tres
b₃+2b₂+b₁=0 da b₃=−4.El inverso empieza 1−2x+3x²−4x³.
Cada coeficiente nuevo usa los anteriores y una constante invertible.
El producto tiene coeficientes uno, cero, cero y cero hasta grado tres.
7. El graduado asociado separa capas; la completación reúne precisiones
.Cada capa conserva la contribución de un orden exacto. Cambiar un representante por un error de orden superior cambia su producto por otro error de orden superior, de modo que la multiplicación de grados está bien definida.
Para k[x] y (x), la clase inicial de x genera el graduado como k[t]. Sus elementos tienen finitas componentes no nulas porque se usa suma directa. La completación k[[x]] permite infinitos coeficientes: no son el mismo objeto ni tienen la misma función.
Leer las capas de un anillo truncado
R=k[x]/(x³), I=(x).
Grado cero
R/I tiene base uno.
Grados uno y dos
I/I² tiene base la clase de x; I²/I³ tiene base la de x². Las capas siguientes son cero.
Multiplicación
El símbolo t de grado uno cumple t³=0, por tanto gr_I R≅k[t]/(t³).
La nilpotencia se ve en qué capas faltan y cómo se multiplican.
El grado de una capa no es una nueva variable del anillo original.
Una suma directa no contiene una suma infinita de sus capas
Comparar k[t] y k[[x]].
Graduado
1+t+⋯+tᴺ es un elemento para cada N finito. No hay un polinomio con todos sus coeficientes iguales a uno.
Completación
1+x+x²+… sí es una familia compatible, como ya se construyó.
Diferencia
Escribir las mismas primeras capas no identifica suma directa y límite inverso.
La presencia de infinitas coordenadas compatibles distingue la completación.
En el graduado los elementos son sumas finitas por definición.
8. Los dígitos p-ádicos son otra forma de escribir una familia compatible
Cada nivel módulo pⁿ fija los primeros n dígitos en base p; reducir elimina los de mayor orden. Los dígitos van de cero a p−1 y se determinan sucesivamente.
El entero menos uno tiene residuo pⁿ−1 en el nivel n. En base dos todos sus dígitos son uno. La igualdad 1+2+4+…=−1 es dos-ádica: sus sumas parciales difieren de menos uno por potencias de dos, aunque crezcan en valor real.
Comprobar la regla de menos uno en cada nivel
r_n=2ⁿ−1.
Reducir
r_n₊₁−r_n=2ⁿ, que es cero módulo 2ⁿ.Identificar
r_n−(−1)=2ⁿ, así que cada residuo coincide con el de menos uno.
Convergencia
La diferencia entre la suma parcial 1+⋯+2ⁿ⁻¹ y menos uno es 2ⁿ, cada vez más divisible por dos.
La regla completa especifica −1 en Z₂.
No se afirma que la serie converja en R.
La suma de familias puede tener llevadas
Sumar las familias de −1 y uno en Z₂.
Nivel n
Sus residuos suman (2ⁿ−1)+1=2ⁿ.Reducir
Eso es cero módulo 2ⁿ para todos los n.
Resultado
La familia suma es cero. Los dígitos de la respuesta no se obtienen sumando unos y ceros sin efectuar llevadas.
Las operaciones en los cocientes respetan la aritmética del límite.
La identidad −1+1=0 queda verificada en todos los niveles.
9. La exactitud al completar necesita controlar filtraciones de submódulos
Para N⊆M, la precisión heredada por N es N∩IⁿM, mientras que su propia filtración es IⁿN. No suelen ser iguales nivel a nivel. En el marco noetheriano y con módulos finitamente generados, Artin–Rees asegura una comparación suficiente entre ambas filtraciones.
Ese teorema permite conservar sucesiones exactas al completar módulos finitos y obtener M̂≅M⊗_R R̂. La completación de un anillo noetheriano es noetheriana y completa respecto del ideal extendido. En ausencia de esas hipótesis no se traslada automáticamente el resultado.
Ver por qué las dos filtraciones no coinciden literalmente
R=M=Z, I=(2) y N=2Z.
Inducida
N∩2ⁿZ=2ⁿZ para n≥1.Propia
IⁿN=2ⁿ⁺¹Z, un nivel más pequeño.Comparación
No son iguales, pero solo hay un desplazamiento fijo de un nivel. Esta es la clase de control que generaliza Artin–Rees.
La exactitud no se demuestra fingiendo igualdad de las dos filtraciones.
Para n=1, los ideales son 2Z y 4Z.
Comprobar una sucesión exacta completada en un ejemplo finito
0→Z → Z → Z/2Z→0, primera flecha ×2; completar en (2).
Completaciones
Z se convierte en Z₂. El módulo Z/2Z ya tiene filtración estacionaria cero desde el primer nivel, así que su completación es F₂.
Núcleo final
La reducción Z₂→F₂ toma el primer dígito.Su núcleo son exactamente los múltiplos de dos.
Primera flecha
Multiplicar por dos en Z₂ es inyectivo y su imagen es ese núcleo. La sucesión completada sigue siendo exacta.
La comprobación concreta concuerda con el teorema para módulos finitos.
Inyectividad se ve porque desplazar los dígitos no puede convertir un no cero en cero.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Truncar una serie
Trunca 1+2x+3x²+4x³+… módulo x³.
Precisión
Módulo x³ se identifican series cuya diferencia es múltiplo de x³.
Grados que quedan
Se conservan exactamente los grados cero, uno y dos.
Leer coeficientes
Esos términos son 1,2x y 3x².
Eliminar
4x³ y todos los términos posteriores tienen factor x³.
Truncamiento
El representante es 1+2x+3x² módulo x³.
Comprobar
Restarlo de la serie deja una serie múltiplo de x³.
1+2x+3x² módulo x³.
La diferencia con la serie es múltiplo de x³.
EJEMPLO RESUELTO 2
Compatibilidad 2-ádica
Comprueba si 1 mod 2, 3 mod 4 y 7 mod 8 son compatibles.
Primera reducción
Tres módulo cuatro se reduce a uno módulo dos.
Segunda
Siete módulo ocho se reduce a tres módulo cuatro.
Compatibilidad
Las reducciones consecutivas coinciden con las clases propuestas.
Identificar residuos
Menos uno deja restos uno, tres y siete en esos módulos.
Regla completa
La familia r_n=2ⁿ−1 es compatible y representa −1 en Z₂.Alcance
Los tres datos son truncamientos de esa familia, pero no la determinan de manera única sin la regla de continuación.
Sí; son truncamientos del entero 2-ádico −1.
−1≡1,3,7 en los tres módulos.
Los símbolos que hemos usado
- Iⁿ
- Ideal generado por productos de n elementos de I; se toma I⁰=R.
- Filtración I-ádica
- Cadena R⊇I⊇I²⊇⋯ que mide precisión mediante potencias del ideal.
- R/Iⁿ
- Anillo de residuos que olvida los errores pertenecientes a Iⁿ.
- R̂_I
- Límite inverso de los anillos R/Iⁿ y sus aplicaciones de reducción.
- Separado
- La intersección ∩ₙIⁿ es cero, de modo que los residuos distinguen elementos de R.
- k[[x]]
- Anillo de series formales ∑aₙxⁿ, con coeficientes aₙ∈k.
- gr_I(R)
- Graduado asociado ⊕ₙ≥0Iⁿ/I^(n+1), con multiplicación por capas.
- M̂
- Completación de un módulo M: límite inverso de M/IⁿM.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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