Una sucesión espectral calcula por etapas: cada página conserva lo que sobrevive a unos mapas y olvida lo que ya es borde. No basta mirar la tabla de grupos; hacen falta sus flechas. Empezaremos con una cuenta de núcleo e imagen, construiremos un ejemplo filtrado donde aparece una flecha tardía y separaremos estabilidad, convergencia y problemas de extensión.
Si necesitas repasar:
1. Cada página contiene grupos y diferenciales, no solo números en una cuadrícula
Una sucesión espectral tiene páginas E_r, mapas d_r con d_r²=0 e identificaciones de la página siguiente con su cohomología. En la versión bigraduada, cada entrada E_r^(p, q) es un grupo, módulo o espacio vectorial.
Una dimensión solo informa del tamaño vectorial; no determina los mapas. Dos páginas con entradas iguales pueden producir páginas siguientes diferentes. Para calcular hay que conocer la flecha saliente y la entrante en cada posición.
Los mismos dos espacios dan resultados diferentes según la flecha
Una parte de página Q → Q, con los demás términos relevantes cero.
Identidad
Si la flecha es identidad, su núcleo y conúcleo son cero; desaparecen ambas entradas al tomar cohomología.
Mapa cero
Si la flecha es cero, el núcleo es todo el primer Q y el conúcleo todo el segundo Q.
Comparar
Las dimensiones iniciales eran uno y uno en ambos casos; las siguientes no coinciden.
Las flechas son parte de los datos esenciales.
No se actualiza una página sumando o restando tamaños sin conocer rangos.
Una entrada de dimensión dos no son dos elementos
E_r^(p, q)=Q².
Elementos
Cada pareja de racionales es un elemento; hay infinitos.
Dimensión
Dos es el número de vectores en una base.
Mapas
Un diferencial puede tener rango cero, uno o dos según su destino y su fórmula. Hace falta ese dato para conocer el núcleo.
Se declara si se cuentan elementos, dimensiones o grupos.
La distinción importa aún más si las entradas son grupos con torsión.
2. La convención fija la flecha saliente y también el origen de la entrante
Usamos diferenciales cohomológicos 
. En el dibujo p crece hacia la derecha y q hacia arriba.
La flecha entrante a (p, q) viene de (p−r, q+r−1). Las convenciones homológicas o reindexadas usan otras direcciones; aquí se mantiene esta en todas las cuentas.
Leer una flecha de segunda página
Desde (0,1), con r=2.
Primer índice
0+2=2.Segundo
1−2+1=0.Grado
El destino es (2,0): dos a la derecha y uno hacia abajo. El total pasa de uno a dos.
La flecha puede existir en el primer cuadrante.
Sus dos coordenadas finales son no negativas.
Buscar de dónde podría llegar una flecha
Entrada (4,2) en página tres.
Restar en p
El origen debe tener p=4−3=1.Recuperar q
Su segundo índice es 2+3−1=4.Comprobar
d₃ desde (1,4) llega a (4,2); el total sube de cinco a seis.
La entrante no se encuentra repitiendo la fórmula saliente sobre la posición central.
Se resolvieron las coordenadas hacia atrás.
3. La página siguiente es núcleo saliente dividido por imagen entrante
En (p, q), primero se toman los elementos que d_r envía a cero. Después se identifican los que difieren por algo llegado mediante d_r. La condición d_r²=0 asegura que los bordes entrantes son ciclos y permite ese cociente.
Para espacios vectoriales finitos, la dimensión siguiente es dimensión central menos rango saliente menos rango entrante. Esa fórmula exige composición cero; si no, no hay un complejo válido del que tomar cohomología.
Conservar una sola dirección entre tres
Q → Q³ → Q, con i(t)=(t,0,0) y p(x, y, z)=z.
Núcleo saliente
Es el plano {(x, y,0)}, de dimensión dos.
Imagen entrante
Es el eje {(t,0,0)}, de dimensión uno y contenido en ese plano.
Cociente
Queda una dirección, representada por (0,1,0). La cohomología central es Q.
La cuenta de dimensiones da 3−1−1=1.
El representante no se anula por la saliente ni es borde.
Una flecha saliente cero no garantiza supervivencia
Q → Q → 0 con primera flecha identidad.
Ciclos
La saliente cero deja todo Q como núcleo.
Bordes
La identidad entrante también tiene imagen todo Q.
Cociente
Q/Q=0.La entrada desaparece en la siguiente página.
Hay que mirar las dos flechas.
Con entrante cero y saliente identidad también desaparecería, pero por falta de ciclos.
4. Una filtración puede ocultar la diferencial hasta una página posterior
Para un complejo con filtración descendente por subcomplejos, 
. La diferencial que permanece en una capa da d₀ y tiene bidegrado (0,1). Su cohomología es E₁. Los mapas posteriores detectan saltos de filtración más grandes.
Construyamos un caso completo sobre Q: C¹ tiene base x, C² tiene base y, dx=y y los demás términos son cero. Damos peso de filtración cero a x y dos a y: F^p contiene un generador si su peso es al menos p. La diferencial respeta la filtración porque aumenta ese peso.
Calcular las primeras páginas del ejemplo, en vez de inventar flechas
x en (p, q)=(0,1), y en (2,0).
Página cero
Las únicas capas no nulas son Qx y Qy en esas posiciones.
Como dx salta dos columnas, d₀=0.Página uno
Las mismas entradas siguen ahí y d₁=0, porque tampoco hay un salto de una columna.
Página dos
d₂([x])=[y] es identidad entre esas copias de Q.E₃ es cero, igual que la cohomología total del complejo.
Que d₁ sea cero no obliga a que d₂ lo sea.
La flecha se dedujo de dx=y y de los pesos.
Cambiar la diferencial cambia la página estable
Mismos términos y pesos, pero dx=0.
Capas
E₀ tiene las mismas dos entradas que antes.
Todas las flechas
La diferencial original es cero, así que no aparece una obstrucción posterior: cada d_r es cero.
Llegada
Quedan Q en cohomología uno y Q en dos, con las capas indicadas. Esta vez sí sobreviven.
Las posiciones iniciales no determinaban por sí solas la respuesta.
En ambos ejemplos los pesos y la diferencial especifican el complejo filtrado entero.
5. El primer cuadrante da estabilidad en cada posición, no siempre una página global
La saliente desde (p, q) cae fuera si r>q+1 y la entrante viene de fuera si r>p. Por tanto esa posición ya no cambia cuando r>max(p, q+1).
La cota depende de (p, q). Si el soporte está en un rectángulo finito hay una cota uniforme; si se extiende indefinidamente, cada posición puede estabilizarse sin que haya una única página que estabilice todas.
Calcular una cota segura para una posición
(p, q)=(2,1).
Salida
Para r≥3 el destino tiene segundo índice 1−r+1≤−1 y es cero.
Entrada
Para r≥3 el origen tiene primer índice 2−r<0 y es cero.
Estabilidad
Desde la página tres ninguna diferencial posterior cambia esa posición. En página dos todavía pueden existir flechas.
La cota se obtuvo mirando ambas direcciones.
No se concluye que la entrada de página tres sea no nula; pudo desaparecer antes.
Puede haber flechas tardías sin límite común
Para cada r≥1, una pareja x_r en grado r−1 y peso cero, y_r en grado r y peso r, con dx_r=y_r.
Cada pareja
Produce una flecha identidad d_r desde (0, r−1) hasta (r,0), como el ejemplo de página dos.
Reunir
La suma directa de esas parejas tiene solo dos generadores como máximo en cada grado. Las filtraciones por grado siguen siendo finitas.
Sin cota global
Para cualquier página elegida hay una pareja cuyo primer diferencial no cero aparece después. Aun así cada posición concreta se estabiliza.
Estabilidad por entrada y colapso global son afirmaciones distintas.
La construcción declara complejos y pesos; no asigna diferenciales incompatibles libremente.
6. Converger significa recuperar las piezas de una filtración de la cohomología
En un caso convergente, 
. La página estable es el graduado asociado de H, no necesariamente H mismo.
Una condición suficiente sencilla, en complejos de módulos en grados no negativos, es tener F⁰Cⁿ=Cⁿ y Fⁿ⁺¹Cⁿ=0, con filtración preservada por la diferencial. Hay finitas capas en cada grado y la sucesión converge en ese sentido filtrado. Para filtraciones no acotadas hacen falta condiciones adicionales de exhaustividad, separación y límites.
Sumar dimensiones sí puede recuperar una dimensión total
H=Qu⊕Qv, F⁰H=H, F¹H=Qv y F²H=0.
Primera pieza
F⁰/F¹ tiene dimensión uno, representada por u módulo Qv.
Segunda
F¹/F² tiene dimensión uno, representada por v.
Total
dim H=1+1=2.Para elegir un complemento puede usarse u o u+λv; la elección no es canónica.
Las piezas recuperan la dimensión sin fijar una descomposición preferida.
Los cocientes son datos de una filtración concreta.
El ejemplo de la flecha tardía cumple las condiciones suficientes
C¹=Qx de peso cero, C²=Qy de peso dos.
Inicio
F⁰ contiene todo C en ambos grados.
Final por grado
F²C¹=0 y F³C²=0, como pide Fⁿ⁺¹Cⁿ=0.Llegada
El complejo total es acíclico y E∞=0 después de d₂.La convergencia coincide con el cálculo directo.
La convergencia se justifica además de la actualización de páginas.
Aquí no queda un problema de extensión porque todas las piezas son cero.
7. Colapsar deja las piezas estables; puede faltar ensamblarlas
Si todos los diferenciales son cero a partir de una página, esa página es E∞. Sin embargo las piezas filtradas pueden provenir de grupos totales no isomorfos. El grupo central y las extensiones entre piezas no siempre se leen del graduado.
Por ejemplo, Z/4Z con subgrupo {0,2} y (Z/2Z)² con el primer factor tienen ambos dos piezas Z/2Z. Solo el primero tiene un elemento de orden cuatro. La diferencia sobrevive aunque ninguna página cambie.
Comparar las dos filtraciones
F⁰H=H, F¹H el subgrupo indicado y F²H=0.
En Z/4Z
El subgrupo {0,2} es cíclico de orden dos y el cociente también.
En el producto
El primer factor tiene orden dos y su cociente es el segundo factor, también de orden dos.
No isomorfos
Un isomorfismo conservaría órdenes de elementos, pero el producto no tiene ninguno de orden cuatro.
El mismo graduado no determina un grupo total único.
La página estable necesita información de extensión adicional.
Incluso un colapso inmediato puede dejar ese problema
Poner cada H anterior en grado uno de un complejo con diferencial cero y la filtración anterior.
Capas
Aparecen Z/2Z en posiciones (0,1) y (1,0).
Páginas
Todas las diferenciales son cero, porque lo es la diferencial original.
Cohomología
H¹ sigue siendo el H elegido, distinto en ambos casos. El colapso no los distingue.
Hay complejos filtrados concretos detrás del ejemplo de extensión.
Las dos piezas están en un mismo grado total uno.
8. Un complejo doble necesita signos compatibles antes de producir páginas
Si las diferenciales horizontal y vertical conmutan, el complejo total usa D=d_h+(−1)^p d_v sobre la columna p. El signo hace que los términos cruzados se cancelen y D²=0. Si se usan diferenciales que ya anticommutan se adopta la convención correspondiente, sin mezclar ambas.
Las filtraciones por columnas permiten calcular primero la cohomología vertical y después incorporar correcciones horizontales. Las versiones para fibraciones o composiciones de funtores requieren sus propias hipótesis. También un producto multiplicativo compatible es estructura adicional, no una propiedad automática de toda tabla.
Totalizar un cuadrado de identidades
Q en (0,0),(1,0),(0,1),(1,1), con todas las flechas horizontales y verticales identidad.
Grados totales
Queda Q → Q² → Q.En el término central ordenamos primero (1,0) y después (0,1).
Signo
La primera flecha es t↦(t, t); la segunda (a, b)↦−a+b. La composición es cero.
Cohomología
La imagen inicial es el núcleo diagonal, y ambas flechas extremas tienen inyección y sobreyección. El total es acíclico. Las columnas ya tienen cohomología cero, así que E₁=0.
El signo y la cuenta directa coinciden con la página inicial.
Con suma sin signo, la composición sería multiplicar por dos sobre Q.
Una primera cohomología no tiene por qué ser el resultado final
Dos copias Q en (0,0) y (1,0), flecha horizontal identidad y verticales cero.
Primero vertical
E₁ conserva ambas copias, porque no hay diferencial vertical no nula.
Después horizontal
d₁ es identidad entre ellas.
Siguiente página
E₂=0, de acuerdo con el total Q → Q por identidad.
El orden de las primeras cuentas no autoriza detenerse antes de las correcciones.
Tener una página con grupos no nulos no prueba cohomología total no nula.
9. El procedimiento termina revisando estabilidad, convergencia y extensiones
Para calcular se declara primero la convención y la región permitida. Se localizan los mapas entrantes y salientes, se toma núcleo módulo imagen y se repite. Una flecha que cae fuera de la región es cero por sus extremos; una que queda dentro necesita datos para decidirse.
Después se estudian tres preguntas distintas: cuándo dejan de cambiar las entradas, si describen el graduado del objeto buscado y qué extensiones faltan para reconstruirlo. Los controles de grado y dimensiones ayudan a detectar errores, sin sustituir esas pruebas.
Controlar un índice nuevo con el grado total
d₄ desde (3,6).
Destino
p aumenta cuatro: siete. q cambia en menos tres: tres.
Total
El origen tiene total nueve y el destino diez.
Entrada
Una flecha d₄ que llegase al origen vendría de (−1,9), fuera del primer cuadrante. Esa entrante sí está forzada a ser cero.
La saliente llega a (7,3); su valor todavía requiere conocer el mapa.
Índice permitido no significa diferencial necesariamente no cero.
La característica de Euler da un control, no todos los grupos
Q → Q³ → Q con i(t)=(t,0,0), p(x, y, z)=z.
Dimensiones iniciales
En tres grados consecutivos, la suma alternada es 1−3+1=−1.Cohomología
Solo queda una copia de Q en el grado central, cuya suma alternada también es −1.
Límite
La coincidencia comprueba la cuenta, pero por sí sola no habría determinado que los otros dos grupos fueran cero.
Los invariantes de control complementan el cálculo completo.
Siempre se conserva el signo asociado al grado total.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Destino de una flecha
En E₂, ¿adónde sale d₂ desde (1,3)?
Convención
d_r lleva (p, q) a (p+r, q−r+1).
Datos
La página es dos, así que r=2; el origen es (1,3).Primer índice
1+2=3.Segundo
3−2+1=2.Destino
La flecha sale hacia (3,2).
Control
El total aumenta de 1+3=4 a 3+2=5, exactamente uno.
El destino es (3,2).
El grado total sube de 4 a 5.
EJEMPLO RESUELTO 2
Una página por homología
En una fila relevante R --id→R --0→0, calcula la cohomología en el término central.
Término central
La entrada es R y su flecha saliente va por cero al espacio cero.
Núcleo
Todos los reales son ciclos: ker(0)=R.
Entrante
La flecha identidad tiene imagen R.
Cociente
La cohomología central es R/R=0.Página siguiente
La clase central desaparece.
Comprobar
Mirar solo la saliente habría conservado R por error; faltaba dividir por los bordes entrantes.
La clase central desaparece en la página siguiente.
Mirar solo la flecha saliente habría dado una respuesta incorrecta.
Los símbolos que hemos usado
- E_r^(p,q)
- Grupo o módulo en posición (p,q) de la página r.
- d_r
- Diferencial cohomológico de bidegrado (r,1−r), con d_r²=0.
- p+q
- Grado total de una posición; aumenta en uno al aplicar d_r.
- Primer cuadrante
- E_r^(p,q)=0 si p<0 o q<0.
- F^pCⁿ
- Nivel p de una filtración descendente del término de grado n de un complejo.
- E∞
- Página estable en cada posición, bajo las condiciones pertinentes.
- gr_F Hⁿ
- Suma directa de los cocientes F^pHⁿ/F^(p+1)Hⁿ de una filtración de la cohomología.
- Colapso
- Situación en que desde una página todos los diferenciales restantes son cero.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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