Análisis de elementos finitos

Multiplicamos por una prueba v que vale cero en los extremos e integramos por partes: . Solo aparece una derivada de u.

El espacio V=H₀¹(0,1) contiene funciones con derivada débil cuadrado integrable y traza cero. Su norma de energía ∥v′∥L² es una norma por Poincaré. En general, una forma bilineal continua y coerciva en un Hilbert real, con carga lineal continua, permite aplicar Lax–Milgram: existe una única solución débil.

Elegimos un subespacio conforme ⊂V y pedimos la igualdad solo para ∈. Conforme significa que sus funciones pertenecen al espacio del problema continuo. Para dos intervalos [0,1/2] y [1/2,1], basta la función sombrero φ, que vale cero en extremos y uno en el nodo central.

Toda función de este espacio es Uφ.

La primera integral vale cuatro y la segunda uno, luego U=1/4. La función aproximada es continua y lineal por partes: no es una parábola por tener una solución exacta parabólica.

La solución exacta cumple a(u,)=l(), pues las pruebas discretas también son admisibles en V.

La aproximada cumple a(,)=l().

Restando, .

El error e no tiene por qué ser cero: lo que se anula es su acción frente a las pruebas del espacio elegido. Si a es simétrica y positiva, esto es ortogonalidad en energía. Para una forma no simétrica sigue siendo una identidad útil, aunque no sea un producto interior.

Para cualquier , escribimos e=(u−)+(−).

El segundo sumando está en y desaparece al aplicar Galerkin.

Queda α∥e∥V²≤a(e,e)=a(e,u−)≤M∥e∥V∥u−∥V.

Así . El teorema no contiene todavía una tasa en h.

Para cualquier , u−=e+(−), con los dos sumandos ortogonales.

Pitágoras da ∥u−∥a²=∥e∥a²+∥−∥a².

Por tanto es la mejor aproximación en norma de energía, con constante uno. Una norma H¹ distinta puede tener otras constantes de equivalencia. No se infiere a partir de esto un error puntual o una mejor aproximación en L².

Para elementos lineales conformes y mallas de forma regular, la interpolación de una solución suficientemente regular, por ejemplo H² en el marco habitual, permite error energético O(h). Con grado p y regularidad adicional se obtienen órdenes superiores. Céa convierte la estimación de interpolación en la de solución.

El error L² puede ganar un orden mediante un problema dual con regularidad suficiente. Esquinas singulares, capas o mallas degeneradas pueden romper las tasas esperadas. Forma regular controla la geometría de los elementos, no exige que todos tengan exactamente el mismo tamaño.

En un elemento de longitud h, las funciones lineales locales tienen derivadas −1/h y 1/h. Integrar sus productos da . Cada fila suma cero: una constante no tiene energía de derivada.

Se ensamblan aportaciones de los elementos que comparten nodos. Después se imponen o eliminan grados de libertad de frontera. Un bloque local singular no impide una matriz global definida positiva con Dirichlet: las condiciones globales eliminan la dirección constante.

Cuadratura, geometría aproximada o datos proyectados pueden cambiar a o l. Ya no se puede restar las ecuaciones como si fueran idénticas. Las estimaciones de tipo Strang separan la mejor aproximación y los errores de consistencia bajo sus condiciones.

En métodos mixtos aparecen variables y restricciones adicionales. La coercividad puede no valer en todo el espacio producto; se necesitan condiciones inf-sup y coercividad en un núcleo apropiado. Una matriz invertible por sí sola no garantiza estabilidad uniforme al refinar.

Se revisan condiciones de frontera, ensamblaje, residual algebraico y tasas al refinar. Un residual algebraico pequeño indica que se resolvió bien el sistema elegido. El error de discretización mide la distancia al problema continuo y puede seguir siendo grande.

Un estudio con solución conocida permite verificar implementación y órdenes. Cuando u no se conoce, los estimadores a posteriori usan residuos de elementos e interfaces para orientar refinamiento. Se conserva la distinción entre resolver el sistema y mejorar el espacio que representa la función.