Diseño y análisis matemático de mercados

En una subasta cada participante comunica una puja; la regla decide quién gana y cuánto paga. Su valor privado v es cuánto valora el objeto, no necesariamente su puja. Suponemos utilidad cuasilineal: al ganar pagando p recibe v−p y al perder recibe cero.

Fijamos un único objeto, valores privados no negativos, pujas no negativas y una regla de desempate independiente y declarada. No introducimos presupuestos, valoraciones interdependientes o pagos extra. Eficiencia, ingresos, participación e incentivos son criterios distintos.

La mayor puja gana y paga la mayor puja de los demás. Fijadas las pujas ajenas, llamamos b a ese máximo rival. Ganar da v−b y perder da cero. Solo hay que comparar esas dos utilidades.

Si b<v conviene ganar; si b>v conviene perder; si b=v hay indiferencia de utilidad. En un empate de pujas se aplica la regla fijada. Al pujar v, un empate ocurre justo en b=v y cualquiera de sus resultados da utilidad cero.

Pujar v es débilmente dominante: para cualquier perfil rival fijo y cualquier puja alternativa, la utilidad veraz no es menor. La demostración usa los casos b<v, b>v y b=v; no hace falta una distribución de rivales.

Subpujar solo puede perder victorias que daban beneficio. Sobrepujar solo puede añadir victorias a precio mayor que el valor. Algunas desviaciones empatan frente a ciertos rivales: por eso no decimos que decir la verdad mejore estrictamente en cada situación.

Con pujas veraces, gana alguien de mayor valor. Eso maximiza el valor del único objeto asignado bajo estas preferencias. El pago es una transferencia entre ganador y vendedor; no aumenta por sí solo el valor que genera la asignación.

La participación veraz da utilidad no negativa porque al ganar el precio rival no supera el valor. Reservas, costes, varios objetos o presupuestos cambian el modelo y exigen nuevas pruebas. No se traslada esta propiedad a toda regla con nombre parecido.

Ahora consideramos dos grupos de igual tamaño, con preferencias estrictas y completas por el otro grupo, y asignaciones uno a uno. Una pareja no asignada bloquea si ambos prefieren estar juntos antes que con sus parejas actuales.

Una asignación estable no tiene ninguna pareja bloqueante. No exige que todos reciban su primera opción ni maximiza una suma de puntuaciones inventada. Empates, parejas inaceptables o cuotas necesitan variantes del marco.

Cada proponente libre propone a su primera opción no rechazada. Cada receptor conserva provisionalmente la propuesta que más prefiere entre la retenida y las nuevas, y rechaza el resto. Los rechazos son definitivos; las retenciones pueden ser reemplazadas por propuestas mejores.

Las listas están completas y no hay empates. Seguimos las rondas hasta que nadie quede libre.

Con n personas a cada lado, cada proponente puede proponer a cada receptor una sola vez: hay como máximo n² propuestas. Si aún queda alguien libre, queda también un receptor libre; con listas completas el proceso no puede terminar dejando a ese proponente sin todas las opciones.

Si un proponente prefiere un receptor a su pareja final, tuvo que proponerle antes y ser rechazado. El receptor retenía entonces a alguien preferido y solo mejoró después. Por eso no quiere abandonar su pareja final por ese proponente: no puede existir la pareja bloqueante supuesta.

Veracidad de pujas, estabilidad, eficiencia e ingresos responden preguntas distintas. Para el procedimiento general se necesita una prueba; en un caso pequeño se puede además ejecutar y verificar todas las parejas o todos los casos.

Una garantía se comunica junto a sus hipótesis. Listas incompletas o restricciones de pagos no se introducen después como si la prueba siguiera intacta. Se distingue mensaje enviado, utilidad conseguida y propiedad del resultado.