Axiomas de conjuntos y modelos internos

El lenguaje básico usa la relación ∈. x∈A dice que x es uno de los elementos de A. B⊆A dice que cada elemento de B pertenece a A; es una abreviatura de una fórmula con pertenencia. En ZF las variables recorren conjuntos, no objetos atómicos añadidos.

Usaremos los ordinales finitos de von Neumann: 0=∅, 1={0}, 2={0,1} y 3={0,1,2}. Cada natural contiene exactamente los anteriores. Las llaves forman un conjunto nuevo y no se borran sin comprobar qué objeto nombran.

Extensionalidad dice que dos conjuntos con los mismos elementos son iguales. El axioma del vacío proporciona uno sin elementos; pares permite formar {a, b}; unión reúne los elementos de los miembros de un conjunto; potencia reúne todos los subconjuntos de un conjunto dado.

Estas operaciones no son intercambiables. Formar un par conserva dos conjuntos como elementos. Tomar su unión abre un nivel de llaves. Tomar potencia produce conjuntos de candidatos y no solo los candidatos originales.

Dado un conjunto A y una fórmula φ(x), separación proporciona {x∈A: φ(x)}. Puede haber parámetros y cuantificadores no acotados en φ. La cota que importa aquí es el conjunto de candidatos A previamente disponible.

Es un esquema: una instancia por cada fórmula admitida del lenguaje. No dice que toda propiedad produzca un conjunto de todos los objetos que la cumplen. Sin la cota previa se obtendría la contradicción de Russell.

Si una fórmula φ(x, y) asigna a cada x∈A un único y, reemplazo afirma que su imagen forma un conjunto. Se parte de un conjunto de entradas y de una relación funcional definida; no hace falta que sea un algoritmo.

La imagen puede salir de A y puede tener menos elementos que A. La unicidad se exige por entrada, no entre entradas diferentes: dos entradas pueden producir el mismo y. Separación filtra candidatos; reemplazo reúne resultados.

El axioma de infinito asegura un conjunto inductivo: contiene ∅ y, con cada x, contiene su sucesor x∪{x}. A partir de un conjunto inductivo se obtiene ω, el conjunto de los naturales. Formar algunos conjuntos finitos no garantiza por sí solo que exista uno infinito.

Fundación afirma que todo conjunto no vacío A tiene un elemento a∈A disjunto de A. No prohíbe cadenas ascendentes 0∈1∈2∈…; excluye, entre otras cosas, ciclos de pertenencia. La afirmación precisa usa elementos y disjunción, no una imagen informal de profundidad.

El axioma de elección afirma que toda familia de conjuntos no vacíos indexada por un conjunto admite una función que escoge un elemento de cada miembro. ZFC es ZF más esa afirmación. La función debe hacer todas las elecciones a la vez.

Para una familia finita explícita podemos exhibir sus elecciones en ZF. Para una familia infinita concreta también puede existir una regla directa. El contenido del axioma es la garantía general sin necesitar una regla especial para cada familia.

Cada sucesor añade todos los subconjuntos del nivel anterior. Los niveles son crecientes y transitivos. En ZF todo conjunto aparece en algún nivel; V nombra la clase total, no un conjunto.

El rango de x es el supremo de rango(y)+1 para y∈x; el vacío tiene rango cero. x pertenece por primera vez al nivel V de índice rango(x)+1. Contar elementos y calcular rango son preguntas distintas.

En un modelo general de ZF, ∈ puede ser una relación interpretada y no la pertenencia exterior real. Para comparar universos internos usamos pertenencia heredada y transitividad: si x∈M y y∈x, entonces y∈M. Un modelo interno no es cualquier conjunto al que llamemos universo.

Transitividad por sí sola no implica satisfacer ZF. También hay conjuntos transitivos pequeños que no contienen ningún conjunto infinito. Sus ejemplos sirven para entender pertenencia heredada, sin presentarlos como modelos de todos los axiomas.

Relativizar a M reemplaza ∃x ψ por ∃x∈M ψ relativizada, y ∀x ψ por ∀x∈M ψ relativizada. Las fórmulas con todos los cuantificadores acotados a conjuntos son absolutas entre un universo transitivo y el exterior, con parámetros de M.

La transitividad asegura que no falten miembros de los conjuntos usados como cotas. Para cuantificadores sin esa cota no hay la misma garantía. Si M satisface ZF y a∈M, su conjunto potencia contiene exactamente los subconjuntos de a que pertenecen a M; no necesariamente todos los que existen fuera.

Aquí llamamos modelo interno a una clase transitiva M con todos los ordinales que satisface ZF al relativizar sus axiomas. Algunas convenciones exigen ZFC; indicaremos esa propiedad adicional cuando proceda. No se reúne la clase M como un elemento universal de V.

Aunque M y V tengan los mismos ordinales, pueden diferir en qué funciones y subconjuntos existen dentro. Una biyección exterior no tiene por qué pertenecer a M. Por eso pueden diferir en qué ordinales consideran cardinales y en qué conjuntos consideran numerables.

Def(A) reúne los subconjuntos definibles sobre (A,∈) por fórmulas con finitos parámetros de A. Se pone L₀=∅, Lα₊₁=Def(Lα) y en límites se unen los niveles anteriores. En el inicio vacío se usa la convención usual Def(∅)={∅}. L es la clase unión sobre todos los ordinales.

En ZF, el teorema de Gödel afirma que L es transitiva, contiene todos los ordinales y satisface ZFC y la hipótesis generalizada del continuo. Se enuncia como teorema profundo, no como algo demostrado por escribir la recursión. El sentido formal incluye la relativización de cada axioma a esa clase.