Distribuciones bidimensionales y regresión

Nuestros datos inventados reúnen horas de uso x y consumo y en kWh de la misma unidad observada: (1,2),(2,5),(3,5). Cada pareja es un punto. Ordenar solo una columna de otra manera cambiaría qué medidas pertenecen juntas y podría fabricar una relación diferente.

Una tabla conjunta cuenta combinaciones de dos variables. Sus totales por filas y columnas son marginales: resumen cada variable por separado. Esos totales no dicen cómo se emparejan las observaciones; distintas asociaciones pueden tener las mismas marginales.

Situamos cada pareja como punto: x en horizontal e y en vertical. Miramos dirección, forma, dispersión, grupos y puntos alejados. Una nube puede subir, bajar o curvarse; una correlación numérica sola no muestra esas formas.

Al predecir y desde x llamamos x explicativa e y respuesta, sin afirmar todavía una causa. Declaramos unidades y rango observado. Una observación muy alejada en x puede tirar mucho de la pendiente, incluso si su y queda dentro del rango habitual.

Restarlas sitúa cada dato respecto al centro. Si ambas desviaciones tienen el mismo signo, su producto es positivo; con signos opuestos es negativo. Sxy suma esos productos cruzados.

Sxx suma cuadrados de desviaciones de x y Syy hace lo mismo con y. Una covarianza descriptiva es Sxy/n; una convención de estimación usa n−1 con sus supuestos y n>1. Para pendiente y correlación, usar divisores coherentes en todos los componentes deja las mismas razones. La unidad de la covarianza es el producto de las unidades de x e y.

Si Sxx y Syy son positivos, r=Sxy/√(SxxSyy). No tiene unidades y está entre −1 y 1. El signo distingue dirección lineal; |r| cerca de uno indica que los puntos se aproximan a una recta. Si una variable es constante, el denominador cero deja r sin definir.

r=0 significa que los productos cruzados se compensan, no que no haya ninguna relación. Un r alto tampoco prueba causalidad. Para dos variables con variación, r=1 o r=−1 corresponde a puntos exactamente alineados con pendiente positiva o negativa, respectivamente.

En cada dato comparamos y con ŷ en la misma entrada x. La suma de [y−(a+bx)]² evita que errores de signos opuestos se cancelen y penaliza más los grandes. Buscamos a y b que hagan mínima esa suma.

Para una pendiente fijada, el mejor intercepto hace cero la media de errores; al sustituirlo queda Syy−2bSxy+b²Sxx, una cuadrática con mínimo en Sxy/Sxx. La fórmula de a obliga a que la recta pase por el centro (x̄,ȳ).

El residuo e=y−ŷ es positivo si el dato está por encima y negativo si está por debajo. Con intercepto ajustado, los residuos suman cero: su promedio no mide la calidad del ajuste. Usamos sus cuadrados y miramos si presentan curvatura o dispersión cambiante.

En regresión lineal simple con intercepto y Syy>0, R²=1−SSE/Syy=r², donde SSE suma residuos cuadrados. Es la proporción de variación observada que recoge la recta con ese criterio; no una probabilidad de acertar ni una prueba de causa. Si falta el intercepto, no trasladamos automáticamente estas identidades.

Sustituir x en ŷ=a+bx produce una predicción del modelo. Dentro del rango observado hablamos de interpolación; fuera, de extrapolación. La fórmula sigue produciendo números, pero fuera de los datos no sabemos si la misma tendencia se mantiene.

La pendiente del ejemplo mide 1,5 kWh por hora; el intercepto es una predicción para cero horas, entrada que no se observó. Para intervalos de confianza o predicción hacen falta hipótesis sobre errores, dependencia y dispersión. Estimar una respuesta media y anticipar un individuo nuevo son preguntas con incertidumbres distintas.

Una tendencia conjunta puede reflejar diferencias entre grupos, en vez de lo que ocurre dentro de cada uno. El color del dibujo conserva dos subgrupos: en cada uno la salida sube con x, pero los dos azules están mucho más altos que los rojos.

Antes de explicar una asociación preguntamos qué más varía y cómo se eligieron las observaciones. Una causa común puede mover las dos variables. El ajuste descriptivo no distingue por sí solo esa explicación de una relación causal directa.

Antes del ajuste comprobamos parejas y variación de x. Después verificamos paso por las medias y residuos; conservamos fracciones antes de redondear. Un punto influyente se estudia en contexto, sin borrarlo solo porque cambie la pendiente.

La regresión de x sobre y minimiza errores horizontales, no los verticales del problema anterior. Por eso generalmente no se obtiene despejando la misma recta. Los objetivos de minimización son distintos y cada predicción debe conservar su variable de respuesta.