Elementos finitos y formulación variacional introductoria

Si u es suficientemente regular, multiplicamos por una función v que también vale cero en los extremos e integramos: −∫u″v=∫fv.

No se ha supuesto que una sola v determine toda la solución: la formulación exigirá esa igualdad para todas las pruebas admisibles. La ventaja es que ahora solo aparece una derivada de cada función.

H₀¹(0,1) reúne, en este contexto, funciones de cuadrado integrable con primera derivada débil también de cuadrado integrable y traza cero en ambos extremos. Buscamos u en ese espacio con ∫u′v′=∫fv para toda v del mismo espacio, inicialmente con f de L².

La norma de energía es (∫|u′|²)¹ᐟ². En H₀¹ es una norma: una derivada nula obliga a ser constante y la traza cero obliga a que sea la constante cero. La desigualdad de Poincaré controla también el tamaño de u. La acotación y coercividad de esta forma permiten aplicar Lax–Milgram para existencia y unicidad; estas hipótesis pertenecen al problema declarado.

Elegimos funciones continuas y lineales en cada elemento de la malla, con extremos cero. Cada nodo interior tiene una base φⱼ que vale uno en él y cero en los demás nodos: un sombrero con soporte en los elementos vecinos.

Otras bases pueden tener coeficientes sin interpretación de valores nodales. La localidad de los soportes hará dispersa la matriz.

En el espacio finito Vₕ basta probar con cada φᵢ: la identidad es lineal en la función de prueba.

Exigir solo una prueba si hay varias incógnitas dejaría ecuaciones sin imponer.

La matriz interior de Dirichlet es simétrica definida positiva. Para un vector U no nulo, UᵀKU=∫|uₕ′|²>0: solo una función constante tendría derivada cero y las fronteras cero la eliminarían. Esa propiedad no exige que cada matriz local sea invertible.

Las bases locales son (b−x)/hₑ y (x−a)/hₑ, con derivadas −1/hₑ y 1/hₑ.

Para f constante, las dos cargas locales son fhₑ/2. La matriz de masa, si el problema la necesita, integra bases sin derivar: Mₑ=(hₑ/6) por [[2,1],[1,2]]. No se intercambian masa y rigidez: sus factores de longitud son distintos porque sus integrandos también lo son.

Cada elemento tiene índices locales que se traducen a nodos globales. Si dos elementos comparten un nodo, ambos aportan a la ecuación correspondiente. Se suman sus contribuciones; sobrescribir una con la otra pierde parte de la identidad integral.

Cuando f varía, Fₑ no se obtiene automáticamente usando un único valor de f y la fórmula de carga constante. Se integra f por cada base, o se declara una cuadratura con su grado de exactitud. Una suma local correcta y una cuadratura inadecuada producen errores distintos.

En Dirichlet no homogéneo se fijan los valores de los extremos y se incorporan a las cargas interiores, o se introduce una función de levantamiento con esos datos. Las pruebas se anulan en la parte Dirichlet. No se obliga a la solución a pertenecer a H₀¹ si sus propios extremos no son cero.

Si en la derecha se prescribe u′(1)=g, con v(0)=0, integrar por partes da ∫u′v′=∫fv+g v(1). Ese signo corresponde a derivada derecha positiva. Un flujo físico definido como −u′ requeriría cambiar la convención del dato. Con solo Neumann también se revisan compatibilidad y la constante libre.

Con el espacio conforme y las integrales exactas de este problema, Galerkin da a(u−uₕ, vₕ)=0 para toda vₕ, donde a(p, q)=∫p′q′. Es ortogonalidad en energía. Por Pitágoras, ‖u−vₕ‖E²=‖u−uₕ‖E²+‖uₕ−vₕ‖E²: uₕ minimiza el error de energía entre las funciones de Vₕ.

En este marco, enriquecer con espacios anidados no aumenta el error mínimo de energía. No se concluye que todo error puntual baje monótonamente ni se extiende sin más la igualdad a cuadraturas aproximadas o métodos no conformes. L², energía y error nodal son medidas diferentes.