Series trigonométricas y coeficientes de Fourier

En una circunferencia de radio uno, el punto de ángulo t tiene coordenadas (cos t, sin t). Aquí usamos radianes: una vuelta son 2π. El seno copia la altura con signo del punto; el coseno copia su coordenada horizontal. No son distancias siempre positivas. También se puede parametrizar en grados usando sin(πd/180), pero las fórmulas siguientes emplean t en radianes.

El periodo fundamental es el menor positivo, si existe. Podemos trabajar con otro periodo que sea múltiplo suyo, pero entonces cambia qué llamamos primer armónico. Si el tiempo está en segundos, f₀=1/T se mide en ciclos por segundo, o hercios, y ω₀=2π/T en radianes por segundo.

El armónico n completa n vueltas durante el periodo elegido.

Para periodo 2π escribimos f(t)∼a₀/2+Σₙ₌₁∞[aₙcos(nt)+bₙsin(nt)]. El signo ∼ indica que son los coeficientes asociados a f; todavía debemos estudiar en qué sentido converge la suma.

aₙ escala el coseno y bₙ el seno de frecuencia n. Un coeficiente negativo invierte esa contribución; no es una probabilidad. a₀/2 es la media durante un periodo. Un par (aₙ, bₙ) también puede escribirse como A cos(nt−φ), con A=√(aₙ²+bₙ²) y aₙ=A cosφ, bₙ=A sinφ. La fase importa: no basta con conocer la amplitud A.

Dos funciones son ortogonales aquí si su producto integrado en [−π, π] vale cero. No significa que sus dibujos nunca se crucen. Para enteros positivos m, n, ∫cos(mt)cos(nt)=0 si m≠n y π si m=n; lo mismo ocurre con los senos. Los productos seno–coseno integran cero. La constante uno tiene norma cuadrada ∫1²=2π, distinta de π.

La razón está en las vueltas completas: todo seno o coseno de frecuencia entera no nula tiene integral cero en ese intervalo. Las identidades de producto a suma convierten los productos en esas ondas. Cuando las frecuencias coinciden aparece además una constante; por eso la integral del cuadrado no es cero.

Para f integrable en un periodo definimos a₀=(1/π)∫₋π^π f(t)dt, aₙ=(1/π)∫₋π^π f(t)cos(nt)dt y bₙ=(1/π)∫₋π^π f(t)sin(nt)dt, n≥1. La constante de la serie es a₀/2, de modo que su media sí usa 1/(2π). Si f se define por tramos, partimos la integral en esos mismos tramos.

Estas fórmulas definen los coeficientes directamente. La explicación con ortogonalidad funciona sin dificultad para sumas finitas; para una serie infinita no se intercambian suma e integral sin hipótesis. Después justificaremos la reconstrucción en L² y otros sentidos. Cambiar el valor de f en uno o varios puntos no cambia estas integrales.

Un integrando impar tiene integral cero en [−π, π]; uno par permite duplicar la integral de cero a π. Como cos(nt) es par y sin(nt) impar, una f par tiene bₙ=0 y una f impar tiene a₀=aₙ=0. Tener media cero por sí solo no hace impar a una función.

Si solo conocemos g en [0, π], falta decidir qué señal periódica queremos representar. Una extensión par y una impar coinciden en ese intervalo positivo, pero difieren en el negativo. Por tanto sus series son diferentes y deben declararse. Las extensiones de medio intervalo no son dos recetas intercambiables para una misma función ya fijada.

Integramos sobre cualquier intervalo [τ, τ+T] completo y usamos 2/T en las fórmulas de a₀, aₙ y bₙ. Las normas de seno y coseno son T/2. No conservamos 1/π si T deja de ser 2π.

La forma compleja reúne las dos coordenadas: f∼Σₙ∈Z cₙexp(inω₀t), con cₙ=(1/T)∫τ^(τ+T)f(t)exp(−inω₀t)dt. c₀=a₀/2; para n>0, cₙ=(aₙ−ibₙ)/2 y c₋ₙ=(aₙ+ibₙ)/2. Si f es real, c₋ₙ es el conjugado de cₙ. Una pareja de exponentes complejos reconstruye una onda real.

En L² medimos el error con ∫₋π^π|f−p|². S_N es la proyección ortogonal de f sobre los polinomios trigonométricos de frecuencias hasta N. Como f−S_N es ortogonal a todos ellos, para cualquiera p de ese espacio se cumple ||f−p||²=||f−S_N||²+||S_N−p||². El último término no es negativo: ninguna otra elección de esos coeficientes mejora el error cuadrático.

Esto no dice que S_N minimice el error máximo punto a punto. La completitud de la familia trigonométrica permite además que ||f−S_N||₂→0 para f∈L². No implica automáticamente convergencia uniforme o en cada punto. Con variación acotada, la convergencia puntual se describe mediante los límites laterales; lo estudiaremos por separado.

Para una función real en L², Parseval afirma (1/π)∫₋π^π f(t)²dt=a₀²/2+Σₙ₌₁∞(aₙ²+bₙ²). Para una suma finita se demuestra expandiendo el cuadrado y usando ortogonalidad. Para f general se obtiene por convergencia L² y completitud. En forma compleja, (1/T)∫|f|²=Σ|cₙ|², con el periodo y los coeficientes complejos declarados.

La media cuadrática es la integral del cuadrado dividida por la longitud del periodo; su raíz es el valor eficaz o RMS. La constante contribuye con el cuadrado de la media. Los armónicos reales aportan (aₙ²+bₙ²)/2 a la media cuadrática. Un control final compara media, simetría, signo, frecuencia y energía: comprobar solo un punto no basta.