Análisis dimensional y adimensionalización

Longitud tiene dimensión L; tiempo, T; masa, M. Una longitud sigue teniendo dimensión L al pasar de metros a centímetros. Escribir tres sin unidad puede dejar una pregunta incompleta si representa una magnitud física.

Una razón entre dos longitudes expresadas coherentemente es adimensional. Elegir una longitud de referencia ℓ no cambia lo medido: indica cuántas veces cabe esa escala. Convertir unidad y elegir escala son decisiones distintas, aunque ambas usen cocientes.

Cantidades que se suman o igualan deben tener la misma dimensión. En productos se suman exponentes dimensionales; en cocientes se restan. Una derivada dy/dt tiene dimensión [y]/T y una segunda derivada [y]/T².

Una constante puede tener unidades aunque se escriba con una letra o un número fijo. La letra k no lleva siempre la misma dimensión en todos los modelos. Una comprobación dimensional detecta incompatibilidades, pero no determina por sí sola signos ni factores numéricos correctos.

La serie de exp(z) suma uno, z, z²/2 y más términos. Para que sean comparables dimensionalmente, z debe ser adimensional. En modelos físicos usuales se aplica lo mismo a argumentos de logaritmo y funciones trigonométricas.

Por eso escribimos exp(−kt), log(x/ℓ) o cos(ωt+φ). El logaritmo requiere además un cociente positivo; ωt y φ se tratan como fases adimensionales en radianes.

Elegimos T₀>0 como tiempo de referencia y Y>0 como escala de la variable.

Las variables nuevas son adimensionales; las escalas conservan la información necesaria para volver a t e y.

Podemos usar un dato inicial no nulo, una longitud geométrica o una magnitud de la ecuación. Si el dato inicial es cero, no sirve como divisor. Cerca de un equilibrio también puede ser útil escribir y=y equilibrio+Y·ŷ y explicar que ahora ŷ mide una desviación.

Se sustituyen estas expresiones en la ecuación antes de dividir por una escala común.

Cambiar solo el nombre de t por τ deja factores sin transformar. Los grupos que quedan después de la división son adimensionales. Que un parámetro desaparezca de esa forma no significa que desaparezca de la recuperación de unidades.

La solución reducida con dato uno es exp(−τ). Al llegar a τ=1 queda una fracción 1/e del valor inicial; no la mitad.

La semivida satisface exp(−kt)=1/2 y por tanto t mitad=ln2/k. Comparar el mismo τ reúne procesos con tasas diferentes, pero comparar el mismo tiempo físico no. La escala elegida decide qué pregunta estamos representando.

Un producto Π=q₁^α₁…qₙ^αₙ es adimensional cuando sus exponentes de cada dimensión básica suman cero. Las columnas de una matriz recogen esas dimensiones y los vectores de su núcleo dan grupos. Si el rango dimensional es r, hay n−r combinaciones independientes bajo las condiciones del teorema.

Una relación dimensionalmente homogénea se puede reorganizar mediante esos grupos dentro del marco de Buckingham. El teorema no determina la función que los relaciona ni certifica que hayamos incluido todas las variables relevantes. También los parámetros ya adimensionales, como un ángulo, pueden influir.

En transporte-difusión, Uℓ/D es adimensional si U es velocidad, ℓ longitud y D difusividad L²/T. Compara tiempo de difusión ℓ²/D con tiempo de advección ℓ/U. Su interpretación depende de la ecuación, fronteras y zona de la solución.

Si un parámetro pequeño multiplica una derivada, eliminarlo puede reducir el orden y perder condiciones iniciales o de frontera. A veces aparece una capa estrecha donde esa derivada es grande y el producto sigue importando. Se estudia la solución y su dominio antes de borrar el término.