Un motor puede actuar directamente solo sobre la aceleración y, aun así, cambiar posición y velocidad. Un sensor puede medir solo posición y, observando su evolución, distinguir velocidades. Controlabilidad pregunta qué podemos dirigir; observabilidad, qué podemos distinguir. Empezaremos moviendo dos estados y después veremos cómo el rango recoge esas dos preguntas.
Si necesitas repasar:
1. Alcanzar un estado significa construir una entrada durante un intervalo
Un objetivo es alcanzable si una entrada admisible en [0, T] produce ese x(T). En el modelo lineal continuo finito, controlabilidad completa permite alcanzar cualquier vector, sin imponer aquí una cota de amplitud al actuador. Alcanzar desde cero equivale a poder llevar cualquier inicio a cero, porque exp(AT) es invertible.
Una restricción física de fuerza o energía cambia la pregunta cuantitativa. Un modelo de rango completo puede necesitar entradas muy grandes para llegar muy lejos en poco tiempo. No se presenta controlabilidad matemática como permiso para ignorar saturaciones o límites de velocidad.
Construir una entrada que mueve y vuelve a detener
q′=v, v′=u, inicio (0,0), objetivo (1,0) en T=1.
Proponer
u(t)=6−12t en [0,1].Integrar
v(t)=6t−6t² y q(t)=3t²−2t³, usando los dos datos iniciales cero.
Comprobar final
En t=1, q=1 y v=0.Derivar las fórmulas recupera las dos ecuaciones.
La entrada no solo aumenta posición: también frena para fijar la velocidad final.
Un control constante positivo no habría terminado con velocidad cero.
Un límite de fuerza puede impedir una maniobra corta
Mismo modelo, pero |u(t)|≤1 y T=1/10.
Velocidad
|v(t)|≤t desde inicio cero.Posición
|q(T)|≤∫₀ᵀt dt=T²/2=1/200.Objetivo
No puede llegar a q=1 en ese tiempo bajo ese límite, aunque el par lineal siga siendo controlable sin cota de entrada.
Rango completo no garantiza una maniobra posible con cualquier fuerza máxima.
La cota es necesaria para toda entrada admisible; no pretende describir todo el conjunto alcanzable.
2. La dinámica puede llevar la acción de B a nuevas direcciones
Desarrollar la exponencial hace aparecer B, AB, A²B,…: la entrada actúa por B y la dinámica propaga esa acción. El teorema de Cayley–Hamilton permite expresar las potencias desde Aⁿ con las anteriores, así el subespacio relevante es finito.
No significa que el motor actúe solo n veces ni que podamos elegir instantáneamente cada columna de forma independiente. Es una descripción del espacio generado por todas las acciones temporales permitidas. Si las columnas repiten una misma dirección, no alcanzan por sí solas el plano completo.
Dos tiempos de decaimiento permiten separar estados con una sola entrada
A=diag(−1,−2), B=(1,1)ᵀ.
Acción inicial
B=(1,1)ᵀ afecta a las dos derivadas.Propagación
AB=(−1,−2)ᵀ no es múltiplo de B.Plano
El determinante de [B, AB] es −1, de modo que las dos direcciones generan R². La historia temporal permite diferenciarlas.
Una entrada escalar puede alcanzar dos estados si la dinámica produce direcciones independientes.
No es necesario que haya un actuador distinto para cada componente del estado.
Si la dinámica repite la dirección, falta una parte del plano
A=−I de tamaño dos y B=(1,1)ᵀ.
Columnas
AB=−B y las potencias siguientes siguen siendo múltiplos de B.
Ecuaciones
La diferencia d=x₁−x₂ satisface d′=−d, sin entrada.Inicio cero
d(0)=0 obliga d(t)=0.No podemos alcanzar (1,0), que tiene diferencia uno.
Las dos componentes siempre reciben la misma historia y no pueden separarse desde cero.
Que B tenga dos entradas no nulas no prueba controlabilidad.
3. El rango cuenta cuántas direcciones independientes podemos generar
La matriz de controlabilidad es 𝒞=[B, AB,…, Aⁿ⁻¹B], con n filas y nm columnas si hay m entradas.
Con rango menor, los estados alcanzables quedan en un subespacio propio. En dimensión dos y una entrada, un determinante no nulo de [B, AB] sirve para comprobarlo.
Para varias entradas, 𝒞 puede ser rectangular: se calcula rango mediante columnas independientes o eliminación, no un determinante de toda la matriz inexistente. El criterio en este modelo continuo finito vale para cualquier T>0 sin cota de amplitud de la entrada.
Un acoplamiento convierte aceleración en cambio de posición
A=[[0,1],[0,0]], B=(0,1)ᵀ.
Multiplicar
AB=(1,0)ᵀ.Formar
𝒞=[[0,1],[1,0]], con determinante −1.Interpretar
Su rango es dos. La entrada cambia directamente velocidad y después posición, como en la maniobra que calculamos.
El modelo es completamente controlable.
El orden de las columnas es B primero y AB después; intercambiarlas cambia el signo del determinante, no el rango.
Con dos entradas, la matriz de prueba puede ser rectangular
A=0 de tamaño dos y B=diag(1,2).
Bloques
AB=0, así 𝒞=[B,0], de tamaño 2×4.Independencia
Las dos primeras columnas son (1,0) y (0,2), independientes; el rango es dos.
Entrada explícita
Para llegar a (a, b) en T, elegir u=(a/T, b/(2T)) constante produce x(T)=B u T=(a, b).
No necesitamos el determinante de una matriz 2×4 para probar que abarca todo el estado.
Las dos columnas cero adicionales no reducen el rango aportado por B.
4. Observar es distinguir estados iniciales con la misma entrada conocida
Dos estados son distinguibles si, usando la misma entrada conocida, sus salidas difieren en algún instante del intervalo. Al restar las trayectorias se cancelan Bu y Du; queda la diferencia de salida Cexp(At)z₀, donde z₀ es la diferencia inicial. Observabilidad exige que solo z₀=0 produzca diferencia nula durante todo un intervalo.
La entrada conocida es parte de la hipótesis. Si las entradas fueran distintas o desconocidas, una diferencia o coincidencia de salida podría atribuirse a ellas. La observabilidad ideal depende de A y C, no de B o D en esta comparación con entrada conocida.
La evolución de posición distingue dos velocidades
q′=v, v′=0, y=q; estados iniciales (1,1) y (1,−1).
Instante inicial
Ambos sensores leen y(0)=1.Historia
Las salidas son 1+t y 1−t, diferentes para cualquier t>0.
Datos identificables
En general y=a+bt; una historia ideal en un intervalo identifica tanto la posición inicial a como la velocidad b.
Una sola salida puede distinguir varios estados usando tiempo.
No se exige ver ambas componentes en una única lectura instantánea.
Cambiar la entrada rompería la comparación de observabilidad
x′=u, y=x+u, sin conocer u.
Primer experimento
x(0)=0, u=0 produce y=0.Segundo experimento
Con x(0)=a≠0 y u=−a exp(−t), resulta x=a exp(−t) y también y=0.Lo que demuestra
Las salidas iguales no prueban falta de observabilidad con entrada conocida: las entradas eran distintas. Con una misma entrada conocida, y−u revela x directamente.
La hipótesis de entrada común evita atribuir su efecto al estado.
El paso directo u debe descontarse si lo conocemos; no forma una incógnita adicional de estado.
5. Las filas C y CA reúnen información de la evolución
En respuesta libre, y(0)=Cx₀, y′(0)=CAx₀ y las derivadas sucesivas contienen CAʲx₀.
Cayley–Hamilton garantiza que no falten direcciones nuevas en derivadas posteriores.
Estas derivadas explican el criterio ideal, no proponen diferenciar mediciones ruidosas repetidamente. Los observadores usan un modelo y la historia de salidas para estimar el estado. Si existe una dirección en el núcleo de todas las filas, dos estados separados por ella son indistinguibles con la misma entrada.
Medir posición permite ver la velocidad en su evolución
A=[[0,1],[0,0]], C=(1,0).
Filas
CA=(0,1).Matriz
𝒪=[[1,0],[0,1]], de rango dos.Significado
La primera lectura da posición y su variación ideal da velocidad. Si a+bt fuera cero en todo un intervalo, tendrían que ser a=b=0.
El sistema es observable aunque la salida tenga una sola componente.
Las dos condiciones se interpretan con el modelo ideal, no como un método automático para datos con ruido.
Medir solo velocidad deja una posición inicial invisible
Misma A, ahora C=(0,1).
Filas
CA=(0,0).Entonces 𝒪=[[0,1],[0,0]], rango uno.Núcleo
Todo vector (a,0) produce Cexp(At)(a,0)ᵀ=0.Interpretación
Dos movimientos con igual velocidad inicial y distinta posición mantienen esa diferencia de posición sin mostrarla en el velocímetro.
La posición inicial no puede reconstruirse desde esa salida sola.
Que una variable exista en el estado no obliga a que influya en cualquier sensor elegido.
6. Controlar y observar son propiedades distintas con una dualidad algebraica
Cambiar B modifica qué direcciones podemos alcanzar; cambiar C modifica qué direcciones distinguimos. Tener una entrada y una salida no decide por sí solo ninguna de las dos propiedades. Un sistema puede cumplir una y fallar la otra.
La traspuesta de 𝒪 es la matriz de controlabilidad de (Aᵀ, Cᵀ): [Cᵀ, AᵀCᵀ,…]. De ahí surge una dualidad útil para demostraciones y diseño. No exige B=Cᵀ en el sistema real ni afirma que sus dos rangos coincidan automáticamente.
Observable sin ser controlable
A=diag(−1,−2), B=(1,0)ᵀ, C=(1,1).
Controlabilidad
B=(1,0), AB=(−1,0): rango uno.Observabilidad
𝒪=[[1,1],[−1,−2]], cuyo determinante es −1: rango dos.Interpretar
La entrada no alcanza el segundo estado desde cero, pero una diferencia inicial en él se reconoce por su decaimiento distinto en la salida.
Ver un estado no significa poder dirigirlo con ese actuador.
El segundo modo aparece en la respuesta a datos iniciales aunque la entrada no lo excite.
Controlable sin ser observable
Misma A, B=(1,1)ᵀ y C=(1,0).
Controlabilidad
𝒞=[[1,−1],[1,−2]] tiene determinante −1.Observabilidad
𝒪=[[1,0],[−1,0]], rango uno.Dualidad correcta
𝒪ᵀ=[[1,−1],[0,0]] coincide con las columnas Cᵀ y AᵀCᵀ.El segundo estado sigue siendo invisible a esa salida.
Dirigir todas las componentes no significa distinguirlas con cualquier sensor.
La igualdad dual se refiere al par traspuesto, no al B original.
7. Los gramianos añaden esfuerzo e información a la respuesta de sí o no
El gramiano de controlabilidad W_c(T)=∫₀ᵀexp(Av)BBᵀexp(Aᵀv)dv es simétrico semidefinido positivo. Es definido positivo exactamente cuando hay controlabilidad. Para objetivo x_f desde cero, el mínimo de ∫₀ᵀ||u||² es x_fᵀW_c⁻¹x_f si W_c es invertible, con control u(v)=Bᵀexp(Aᵀ(T−v))W_c⁻¹x_f.
El gramiano de observabilidad W_o(T)=∫₀ᵀexp(Aᵀv)CᵀCexp(Av)dv satisface ∫₀ᵀ||y_libre||²=x₀ᵀW_ox₀. Si una dirección no nula tiene energía cero, no se observa. Un autovalor pequeño indica una dirección débil en las escalas elegidas, aunque el rango exacto sea completo.
El coste de mover un doble integrador depende mucho del tiempo
A=[[0,1],[0,0]], B=(0,1)ᵀ, objetivo (1,0)ᵀ.
Gramiano
exp(Av)B=(v,1)ᵀ, así W_c=[[T³/3, T²/2],[T²/2, T]].Su determinante es T⁴/12>0.Tiempo uno
W_c(1)⁻¹=[[12,−6],[−6,4]].El coste mínimo para (1,0) es doce y la fórmula del control da 6−12v.
Otro tiempo
Para T general, u(v)=6/T²−12v/T³ y la energía mínima es 12/T³.Reducir mucho T aumenta mucho el esfuerzo.
La maniobra inicial era precisamente de energía mínima en este marco sin límites de amplitud.
El coste es integral del cuadrado de la entrada, no su área con signo, que aquí es cero.
La historia de posición tiene energía positiva para todo estado no nulo
Mismo A, C=(1,0), T=1 y x₀=(a, b)ᵀ.
Salida libre
y=a+bt.Integrar
∫₀¹(a+bt)²dt=a²+ab+b²/3.Entonces W_o=[[1,1/2],[1/2,1/3]].Ver positividad
La energía es (a+b/2)²+b²/12, positiva salvo a=b=0.El gramiano es definido positivo y confirma observabilidad.
La energía de una historia distingue direcciones, no solo un valor inicial de salida.
Si solo se observara el instante cero, cualquier vector (0, b) quedaría invisible en esa única lectura.
8. Para estabilizar puede bastar controlar u observar los modos peligrosos
Estabilizabilidad pide que todos los modos incontrolables ya sean estrictamente estables. Es más débil que controlabilidad completa: permite elegir una realimentación estable sin poder asignar todos los polos. Un modo incontrolable creciente no puede corregirse con una ganancia de estado.
Detectabilidad es la condición dual: los modos no observables deben ser estrictamente estables. Puede permitir que el error de un observador decaiga aunque no podamos reconstruir exactamente toda diferencia inicial. Si una dirección oculta crece, esa medición no permite corregir su error.
Un modo que ya decae no necesita moverse para estabilizar
A=diag(1,−2), B=(1,0)ᵀ.
Lo que falta
El rango de controlabilidad es uno; el segundo estado no recibe la entrada.
Ganancia
Con u=−3x₁, A−BK=diag(−2,−2).El modo accesible +1 se mueve; el oculto −2 ya era estable.
Comparar
Si B=(0,1)ᵀ, el modo +1 sería incontrolable y ninguna K lo haría decaer.
El primer par es estabilizable sin ser completamente controlable.
No se afirma que podamos elegir el segundo polo: permanece en −2.
Un error oculto decreciente puede desaparecer sin ser medido
A=diag(1,−2), C=(1,0).
Observabilidad
El segundo estado no aparece en la salida: rango uno.
Corrección
Con L=(3,0)ᵀ, A−LC=diag(−2,−2), así todo error inicial decae.
Caso imposible
Con C=(0,1), el modo +1 quedaría no observable.Ninguna L basada en esa salida eliminaría su crecimiento.
La primera pareja es detectable, aunque no observable por completo.
El error del segundo estado desaparece porque la dinámica lo amortigua, no porque el sensor lo haya identificado.
9. Rango completo exacto puede esconder gran esfuerzo o mediciones débiles
Con datos exactos usamos dependencias y eliminación. Con decimales, decidir si un número pequeño es cero requiere tolerancias y escalas justificadas. Un determinante diminuto no debe redondearse sin criterio: los valores singulares y métodos especializados ofrecen una lectura numérica más útil. Las potencias de A pueden empeorar el condicionamiento.
Después del rango se interpreta la dirección débil o ausente. Las unidades importan para comparar magnitudes. Controlabilidad no garantiza poca fuerza; observabilidad no garantiza estimación precisa bajo ruido. Los gramianos muestran cómo cambian esfuerzo e información dentro de las coordenadas elegidas.
Un actuador débil conserva el rango y multiplica el esfuerzo
Doble integrador con B=(0, ε)ᵀ, ε≠0, T=1.
Rango exacto
𝒞=[[0, ε],[ε,0]] tiene determinante −ε², no nulo.Gramiano
W_c se multiplica por ε² respecto del caso B=(0,1).Su inversa se divide entre ε².
Energía
Para llegar a (1,0), el coste mínimo es 12/ε². Si ε=1/1000, vale 12000000, aunque el rango siga siendo dos.
Una propiedad cualitativa no garantiza una maniobra barata o físicamente realizable.
En ε=0 el actuador desaparece y el rango pasa a cero, un caso distinto de ser muy pequeño pero no nulo.
Un sensor muy débil conserva observabilidad y amplifica la incertidumbre
Doble integrador con C=(ε,0), ε≠0.
Rango
𝒪=[[ε,0],[0, ε]] tiene rango dos, y W_o se multiplica por ε².Lectura inicial
y(0)=εa.Recuperar a requiere dividir entre ε.
Ruido
Con ε=1/1000, un error de lectura 1/1000 puede provocar error uno en a. El rango completo no eliminó la debilidad de la medición.
Distinguir estados sin ruido y estimarlos bien con ruido son garantías diferentes.
La comparación supone unidades y escalas fijadas; cambiar coordenadas cambia las cifras del condicionamiento.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Dos estados alcanzables
A=[[0,1],[0,0]], B=(0,1)ᵀ. Comprueba controlabilidad.
Datos
A=[[0,1],[0,0]], B=(0,1)ᵀ.Multiplicar
AB=(1,0)ᵀ.Formar matriz
𝒞=[B, AB]=[[0,1],[1,0]].Rango
Su determinante es −1, no nulo; tiene rango dos.
Conclusión
El par es controlable en este modelo continuo sin cota de entrada.
Interpretar
B y AB son los dos vectores coordenados en orden inverso y generan todo R².
El par es controlable.
B y AB son precisamente los dos vectores coordenados en orden inverso. Su espacio generado es todo R².
EJEMPLO RESUELTO 2
Medir posición revela velocidad
Para la misma A, usa C=(1,0). Comprueba observabilidad.
Datos
Con la misma A y C=(1,0), queremos distinguir el estado inicial desde la salida.
Multiplicar
CA=(0,1).Apilar
𝒪=[[1,0],[0,1]], la identidad.Rango
Tiene rango dos, igual al número de estados.
Conclusión
El sistema es observable.
Comprobar temporalmente
Sin entrada, y(t)=x₁(0)+tx₂(0).Si fuera cero en todo un intervalo, sus dos coeficientes serían cero; no queda dirección inicial invisible.
El sistema es observable.
Con entrada libre cero, y(t)=x₁(0)+tx₂(0). Si esta función es cero para todo t de un intervalo, sus dos coeficientes deben ser cero.
Los símbolos que hemos usado
- x, u, y
- Vector de estado, entrada y salida del modelo x′=Ax+Bu, y=Cx+Du.
- n, m, p
- Números de estados, entradas y salidas, respectivamente.
- 𝒞
- Matriz de controlabilidad, formada por columnas de B, AB, …, A^(n−1)B.
- 𝒪
- Matriz de observabilidad, formada al apilar C, CA, …, CA^(n−1).
- rango
- Número de direcciones linealmente independientes contenidas en las columnas o filas de una matriz.
- T
- Tiempo final positivo de un intervalo de observación o control, fijado para formular la propiedad.
- W_c, W_o
- Gramianos de controlabilidad y observabilidad en un intervalo finito.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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