Imagina una marca en una cinta que se desplaza. Su posición cambia, pero el valor escrito en ella puede mantenerse. Primero seguiremos una marca; después reconstruiremos el perfil completo. La regla de la cadena convertirá una ecuación con dos variables en una cuenta a lo largo de cada trayectoria.
Si necesitas repasar:
1. Seguir una marca combina dos cambios mediante la regla de la cadena
u(x,t) es el valor observado en la posición x y el instante t.
La regla de la cadena da v′=uₜ+x′uₓ: cambia el tiempo y también el lugar donde miramos.
Entonces v′=0: sobre esa trayectoria el valor es constante. Estas trayectorias se llaman características.
Comprobar una marca con una función concreta
u=(x−2t)² y x(t)=3+2t.
Sustituir la trayectoria
v(t)=(3+2t−2t)²=9.Derivadas parciales
uₜ=−4(x−2t) y uₓ=2(x−2t).Regla de la cadena
v′=uₜ+2uₓ=0.
La marca que empezó en x₀=3 conserva el valor 9.
uₜ no es cero en todos los puntos; lo que se anula es el cambio siguiendo la marca.
Una marca acumula un valor nuevo
u=4t y x(t)=−1+2t.
Perfil
En cualquier lugar el valor es 4t.
Seguir la marca
v′=4, porque uₜ=4 y uₓ=0.Interpretar
Hay una fuente de intensidad 4, no transporte homogéneo.
uₜ+2uₓ=4.
Mover la marca no añade cambio espacial si el perfil es uniforme en x.
2. Retroceder la trayectoria identifica qué dato inicial llega a un punto
Esta es la etiqueta inicial de la marca que pasa por (x,t).
En toda la recta y para f continuamente derivable, esta construcción da una solución clásica. La unicidad se ve sin adivinar: cualquier solución clásica debe conservar su valor al recorrer esa misma característica hacia el instante inicial.
Un punto final, una etiqueta inicial
c=2 y punto final (x;t)=(3;1,5): posición 3 y tiempo 1,5.
Volver al inicio
x₀=3−2·1,5=0.Leer el perfil
Si f(x)=x²+1, esa marca comenzó con f(0)=1.Volver al punto
u(3;1,5)=1.
El dato viene de x₀=0.
En el dibujo, el punto final y el inicial pertenecen a la misma recta inclinada.
Traducir un perfil entero
uₜ+3uₓ=0 y f(x)=x²+1.
Trayectoria
x=x₀+3t.Etiqueta
x₀=x−3t.Valor
u(x,t)=(x−3t)²+1; en t=0 devuelve x²+1.
u=(x−3t)²+1.
Al derivar, uₜ=−6(x−3t) y 3uₓ=6(x−3t); se cancelan.
3. El signo menos de la fórmula puede mover el dibujo hacia la derecha
Para localizar una cresta que empezó en a, mantenemos x−ct=a: su nueva posición es x=a+ct.
Una traslación conserva altura y anchura. En toda la recta conserva la integral cuando f es integrable y las normas Lᵖ cuando son finitas: basta sustituir ξ=x−ct, con dx=dξ. En un intervalo fijo puede entrar o salir contenido por los extremos, y esa conservación ya no es automática.
La montaña inicial está centrada en uno
f(x)=exp(−(x−1)²), c=2.
Fórmula
u=exp(−(x−2t−1)²).En t=1
El exponente es cero cuando x=3; allí sigue valiendo 1.
Forma
Todas las posiciones se desplazan dos unidades, sin cambiar sus alturas.
El máximo pasa de x=1 a x=3.
No hay difusión: el dibujo se traslada y mantiene su anchura.
Velocidad negativa
f(x)=cos x y c=−3.
Signos
x−ct=x+3t.Seguir una cresta
La cresta que empezó en x₀=0 cumple x+3t=0.Posición
En t=2 esa marca está en x=−6.
u=cos(x+3t), con traslado hacia la izquierda.
Las demás crestas también se trasladan; seguir una marca concreta evita la ambigüedad de la periodicidad.
4. Comprobamos la fórmula y distinguimos solución clásica de frente débil
Comprobar ecuación y dato son dos pasos necesarios.
Si f tiene un salto, trasladarlo no lo suaviza. La fórmula sigue definiendo una solución débil para datos localmente integrables. En la identidad débil se integra u(φₜ+cφₓ) más el término inicial contra funciones de prueba de soporte compacto; el cambio ξ=x−ct reduce esa identidad a una integración temporal.
Derivar un perfil que no es un polinomio
f(x)=e^(−x²), c=2.
Espacio
uₓ=−2(x−2t)e^(−(x−2t)²).Tiempo
uₜ=4(x−2t)e^(−(x−2t)²).Cancelar y revisar el inicio
uₜ+2uₓ=0 y u(x,0)=e^(−x²).
La fórmula es una solución clásica en toda la recta.
El signo positivo de uₜ sale de dos signos negativos al usar la cadena.
Transportar un escalón
f(x)=0 para x<0 y 1 para x>0; c=2.
Etiqueta
El lado depende del signo de x−2t.
Frente
El salto está en x=2t y sigue siendo de altura 1.Sentido de solución
La derivada espacial del salto y la temporal se cancelan en el sentido de distribuciones.
u=0 si x<2t y u=1 si x>2t, solución débil.
No es una solución clásica sobre el frente. Elegir un valor en esa línea no elimina el salto.
5. Con una fuente sumamos lo recibido durante el recorrido
Integrar desde 0 hasta t da el valor inicial más toda la fuente acumulada.
No se sustituye siempre la posición final x dentro de q: la marca atravesó otras posiciones. Con funciones regulares podemos comprobar el resultado mediante derivadas.
Una fuente depende del lugar por donde pasas
uₜ+2uₓ=x y f=0.
Lugar pasado
En s, la marca está en x−2(t−s).
Integrar
∫₀ᵗ(x−2t+2s)ds=xt−2t²+t².Comprobar
u=xt−t² tiene uₜ=x−2t y 2uₓ=2t.
u=xt−t².
La suma es x. Usar solo q=x durante todo el recorrido habría dado xt y fallaría.
Traslado más crecimiento uniforme
uₜ+uₓ=5 y f(x)=x².
Dato que llega
f(x−t)=(x−t)².Fuente acumulada
∫₀ᵗ5ds=5t.Unir
u=(x−t)²+5t.
u=(x−t)²+5t.
uₜ=−2(x−t)+5 y uₓ=2(x−t); la suma vale 5 y en t=0 queda x².
6. Si cambia la velocidad, resolvemos una EDO para cada trayectoria
Si conocemos el punto final, resolvemos la trayectoria hacia atrás. Después integramos el valor sobre ella.
Continuidad en el tiempo y regularidad local de Lipschitz en x permiten unicidad local del flujo bajo las hipótesis usuales. Dos trayectorias de ese mismo campo no se cruzan en un mismo instante mientras ambas existan. Hay que comprobar el intervalo de existencia y si la trayectoria alcanza antes el borde: no todos los campos producen un flujo global.
La velocidad depende del tiempo
uₜ+t uₓ=0, u(x,0)=f(x).
Integrar posición
x′=t da x=x₀+t²/2.Despejar
x₀=x−t²/2.Conservar
u=f(x−t²/2).
El desplazamiento es t²/2.
Derivando, uₜ=−t f′ y t uₓ=t f′, con el mismo argumento en ambas.
Las marcas se separan exponencialmente
uₜ+2x uₓ=0, u(x,0)=f(x).
Resolver la EDO
x′=2x, luego x=x₀e^(2t).Etiqueta
x₀=xe^(−2t).Valor
u=f(xe^(−2t)).
El perfil se estira en lugar de trasladarse rígidamente.
Las etiquetas no se cruzan: multiplicar por e^(2t)>0 conserva el orden de las posiciones.
7. Un valor transportado y una densidad conservada no obedecen la misma cuenta
El transporte pasivo uₜ+a uₓ=0 conserva el valor de cada marca.
Al desarrollar el producto aparece ρₜ+aρₓ=−aₓρ: la densidad cambia si las marcas se separan o comprimen.
El valor pasivo es f(xe^(−t)), pero la densidad es e^(−t)f(xe^(−t)). En toda la recta y para datos integrables, ese factor compensa el estiramiento y conserva la masa.
Estirar un perfil sin rebajar su altura
a=x y f(x)=e^(−x²), como valor pasivo.
Seguir la marca
u(x₀eᵗ,t)=f(x₀).Fórmula
u=e^(−x²e^(−2t)).Integral
Con ξ=xe^(−t), dx=eᵗdξ; la integral es eᵗ√π.
Conserva valores, pero la integral espacial aumenta.
No había una ecuación de conservación de densidad; el espacio entre las marcas creció.
El mismo estiramiento, ahora con masa fija
ρₜ+∂ₓ(xρ)=0 y ρ(x,0)=e^(−x²).
Cambio sobre una marca
ρ′=−ρ porque aₓ=1.Resolver
ρ=e^(−t)e^(−x²e^(−2t)).Integral
El factor e^(−t) cancela dx=eᵗdξ.
La masa sigue siendo √π.
El pico baja mientras la anchura aumenta: son dos cambios que se compensan exactamente.
8. En un intervalo miramos si la característica llega al inicio o al borde
En 0<x<L con c>0, damos perfil inicial f y entrada izquierda g.
Por eso hay dos fórmulas.
El borde derecho es salida. Si c<0, la entrada está a la derecha; c=0 requiere otro análisis porque las marcas no cruzan bordes.
Dos puntos reciben datos de sitios distintos
c=2,L=4,f(x)=x²,g(t)=t².
Punto (3;0,5)
0,5<3/2: llega al inicio en x₀=2 y vale f(2)=4.Punto (2;2)
2>2/2: llega al borde en s=2−1=1 y vale g(1)=1.Interfaz
Ambos datos y sus primeras derivadas valen cero en el origen; la unión es C¹.
u=(x−2t)² si t≤x/2; u=(t−x/2)² si t>x/2.
Cada expresión cumple uₜ+2uₓ=0 en su región y coinciden con primeras derivadas sobre t=x/2.
Invertir la velocidad invierte la entrada
uₜ−2uₓ=0 en 0<x<4, perfil inicial f y entrada u(4,t)=h(t).
Retroceder
La trayectoria hacia atrás sube su posición: x₀=x+2t.Si no alcanza 4
Cuando t≤(4−x)/2, el dato es f(x+2t).Si toca el borde
En otro caso, llega a x=4 en s=t−(4−x)/2 y recibe h(s).
La entrada está en x=4; la salida está en x=0.
La elección del extremo sale del signo de la velocidad, no de una regla fija de «dar siempre el borde izquierdo».
9. Si la velocidad depende de u, pueden juntarse las características
En Burgers uₜ+u uₓ=0, sobre cada característica el valor sigue siendo f(x₀), pero ahora su velocidad es ese propio valor: x=x₀+t f(x₀). Para recuperar x₀ necesitamos invertir esta relación.
Su derivada respecto a x₀ es 1+t f′(x₀).
Si se anula el denominador con numerador no nulo, la pendiente explota. Tras ese instante una continuación débil necesita una condición de entropía para seleccionar la solución física; no se continúa dibujando curvas cruzadas como si u siguiera siendo clásica.
Las marcas se comprimen
f(x₀)=−x₀ en toda la recta.
Trayectoria
x=x₀(1−t).Invertir antes del choque
Para 0≤t<1, x₀=x/(1−t), y u=−x/(1−t).Pendiente
uₓ=−1/(1−t), que diverge al acercarse a t=1.
La solución clásica falla en t=1.
Las marcas llegan simultáneamente a x=0. El ejemplo tiene dato no acotado, pero muestra exactamente la pérdida de inversión.
Las marcas también pueden separarse
f(x₀)=x₀ en toda la recta.
Trayectoria
x=x₀(1+t).Invertir
Para t≥0, x₀=x/(1+t).Valor y pendiente
u=x/(1+t), uₓ=1/(1+t).
En tiempo futuro no se pierde la inversión en este ejemplo.
Una ecuación no lineal puede desarrollar choques, pero no todos sus datos los producen hacia el futuro.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Transportar una onda
Resuelve uₜ+2uₓ=0, u(x,0)=sin x.
Leer los datos
La velocidad constante es c=2 y el perfil inicial es f(x)=sen x.Seguir una marca
x′=2, de modo que x=x₀+2t.Retroceder
La etiqueta de la marca que llega a (x,t) es x₀=x−2t.Conservar el valor
La ecuación homogénea da d/dt u(x(t),t)=0; su valor es f(x₀).Escribir la solución
u(x,t)=sen(x−2t).Comprobar ambos requisitos
uₜ=−2cos(x−2t), uₓ=cos(x−2t), por tanto uₜ+2uₓ=0.En t=0 queda sen x.
u=sin(x−2t).
Por ejemplo, la marca elegida x₀=0 está en x=2t y mantiene u=sen0=0; esta comprobación sigue una característica concreta sin cambiar el dato.
EJEMPLO RESUELTO 2
Una fuente
Resuelve uₜ+uₓ=3, u(x,0)=0.
Separar velocidad y fuente
c=1 y q=3; el dato inicial es cero en toda la recta.Trayectorias
x=x₀+t y x₀=x−t.Cambio sobre una marca
v′=uₜ+uₓ=3.Integrar
v=3t+C(x₀); la constante puede depender de la marca.Aplicar el perfil inicial
v(0)=0 para todas las marcas, así C(x₀)=0.Volver y comprobar
u(x,t)=3t, con uₜ=3 y uₓ=0; cumple la ecuación y el dato inicial.
u(x,t)=3t.
La fuente aumenta uniformemente el valor en cada marca. La ausencia de variación espacial hace que el término de transporte sea cero.
Los símbolos que hemos usado
- u(x,t)
- Cantidad transportada en la posición x y el tiempo t.
- c
- Velocidad constante con unidades de longitud dividida por tiempo.
- x₀
- Posición inicial de una característica en t=0.
- f(x)
- Perfil inicial u(x,0), supuesto C¹ para una solución clásica.
- q(x,t)
- Fuente que añade cambio a la cantidad a lo largo del movimiento.
- a(x,t)
- Velocidad variable del campo de transporte.
- Frontera de entrada
- Parte del borde desde la que las características entran en el dominio al avanzar el tiempo.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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