Ningún número real tiene cuadrado negativo. Para resolver ecuaciones como x² = −1 ampliamos los números e introducimos i, con i² = −1. Construiremos a + bi, lo dibujaremos en un plano y veremos cómo sumar, multiplicar, dividir y cambiar a una descripción por longitud y ángulo.
Si necesitas repasar:
1. Introducimos i para ampliar los reales, no para cambiar sus reglas
El cuadrado de un real es no negativo: 3² y (−3)² valen nueve; 0² vale cero.
Definimos una unidad i que cumple i² = −1 y trabajamos con números z = a + bi, donde a y b son reales.
a es la parte real y b la parte imaginaria; el término imaginario completo es bi.
Igualar complejos exige igualar sus dos componentes.
Leer las partes con signo
Para z = 4 − 3i, identifica parte real e imaginaria.
Forma a + bi
a = 4 y b = −3.Parte imaginaria
El número real −3.
Término imaginario
−3i.
Re(z) = 4; Im(z) = −3.
Im(z) no es −3i: ese es el término multiplicado por i.
Un real dentro de los complejos
Escribe −5 y 2i como a + bi.
Real −5
−5 + 0i.
Imaginario puro 2i
0 + 2i.
Componentes
En uno falta componente imaginaria; en otro, real.
−5 + 0i y 0 + 2i.
La ampliación incluye a todos los reales, no los elimina.
2. El plano complejo coloca a horizontalmente y b verticalmente
El eje horizontal se llama real y el vertical imaginario. Para 3 + 2i avanzamos tres a la derecha y dos hacia arriba. La altura es dos, no dos i como coordenada real del dibujo.
El módulo |z| es la distancia al origen.
Es real y no negativo. Solo vale cero cuando a y b son cero. El conjugado z̄ = a − bi refleja el punto en el eje real y conserva el módulo.
Una distancia conocida
Calcula el módulo de 3 + 4i.
Componentes
Tres y cuatro.
Cuadrados
3² + 4² = 9 + 16 = 25.Raíz no negativa
√25 = 5.
|3 + 4i| = 5.
No sumamos tres y cuatro: usamos la distancia del triángulo rectángulo.
Reflejar el punto
Halla el conjugado y módulo de 3 − 2i.
Conjugado
Se cambia el signo del término imaginario: 3 + 2i.
Módulo original
√(9 + 4) = √13.Módulo reflejado
√(9 + 4), el mismo.
Conjugado 3 + 2i; módulo √13.
La reflexión cambia arriba por abajo, conservando la distancia al origen.
3. Sumamos por componentes y reducimos las potencias de i
En una suma agrupamos partes reales por un lado y coeficientes de i por otro. Para restar, cambiamos el signo de todos los términos del segundo paréntesis. La igualdad se comprueba componente a componente.
Al volver a multiplicar se repite cada cuatro. Para exponentes enteros no negativos, el resto al dividir entre cuatro indica la posición en ese ciclo.
Restar un paréntesis completo
Calcula (2 − i) − (−1 + 4i).
Quitamos paréntesis
2 − i + 1 − 4i.
Reales
2 + 1 = 3.Imaginarios
−i − 4i = −5i.
3 − 5i.
Sumarle el complejo restado devuelve 2 − i.
Un exponente grande
Calcula i²³.
División entre cuatro
23 = 4 · 5 + 3.Ciclos completos
(i⁴)⁵ = 1.Resto
Queda i³ = −i.
i²³ = −i.
Multiplicar una vez más produce i²⁴ = 1.
4. Multiplicamos con distributiva y al final sustituimos i²
En (a + bi)(c + di) multiplicamos cada término del primer factor por cada término del segundo: ac + adi + bci + bdi².
No tratamos i como si valiera uno ni sumamos indiscriminadamente términos reales e imaginarios. La distributiva es la misma que con polinomios; la relación nueva que reduce el resultado es i² = −1.
Cuatro productos pequeños
Calcula (3 + 2i)(1 − i).
Distributiva
3 − 3i + 2i − 2i².
Reducimos i²
−2i² = 2.Agrupamos
3 + 2 − i = 5 − i.
5 − i.
El módulo es √26; también √13 · √2 = √26.
Cuadrar no elimina el término cruzado
Calcula (1 + i)².
Producto completo
(1 + i)(1 + i) = 1 + i + i + i².Reducimos
1 + 2i − 1.
Resultado
2i.
(1 + i)² = 2i.
No es 1 + i²: faltarían los dos términos cruzados.
5. El conjugado permite dividir por un número real no nulo
Los términos imaginarios se cancelan.
Para dividir por z multiplicamos numerador y denominador por z̄ y luego separamos las componentes.
El divisor cero no admite inverso. La condición es que no sean simultáneamente cero sus dos componentes, no que ambas tengan que ser distintas de cero. Un número real como tres o uno imaginario como 2i pueden ser divisores válidos.
División por un conjugado
Calcula (1 + i)/(1 − i).
Factor igual a uno
Multiplicamos arriba y abajo por 1 + i.
Numerador
(1 + i)² = 2i.Denominador
(1 − i)(1 + i) = 1 − i² = 2.Cociente
2i/2 = i.
i.
i(1 − i) = i − i² = 1 + i.
Un inverso con componentes pequeñas
Calcula 1/(2 + i).
Conjugado
2 − i.
Denominador real
(2 + i)(2 − i) = 4 + 1 = 5.Resultado
(2 − i)/5 = 2/5 − (1/5)i.
(2 − i)/5.
Al multiplicar por 2 + i resulta uno.
6. La forma polar usa módulo y dirección
Un complejo no nulo también se describe por r = |z| y un ángulo θ desde el eje real positivo, medido en sentido antihorario.
La dirección se repite al añadir una vuelta completa: 360° o 2π radianes. Elegimos una unidad y la conservamos. Para hallar el argumento revisamos el cuadrante con ambas componentes; el cociente b/a por sí solo no distingue ángulos separados media vuelta. El cero no tiene dirección única.
Del punto al ángulo
Escribe 1 + i en forma polar con grados.
Módulo
√(1² + 1²) = √2.Dirección
Primer cuadrante y componentes iguales: 45°.
Forma
√2(cos45° + i sen45°).
r = √2, θ = 45° más vueltas completas.
√2 · √2/2 = 1 en las dos componentes.
El cuadrante importa
Escribe −2 en polar.
Módulo
Dos.
Dirección
Eje real negativo: 180°, no cero.
Comprobación
2 cos180° = −2 y 2 sen180° = 0.
2(cos180° + i sen180°).
La razón b/a vale cero, pero no identifica por sí sola cuál de los dos semiejes es.
7. Los productos multiplican módulos y suman ángulos
Al multiplicar dos formas polares, la distributiva y las identidades de suma de ángulos dan r₁r₂[cos(θ₁ + θ₂) + i sen(θ₁ + θ₂)]. En una división por un complejo no nulo se dividen módulos y se restan ángulos.
Por eso multiplicar por i, cuyo módulo es uno y ángulo 90°, da un cuarto de vuelta sin cambiar longitud. Multiplicar por un real positivo estira el módulo y conserva dirección; por uno negativo añade media vuelta además del cambio de longitud.
Producto polar
Un complejo tiene módulo dos y ángulo 30°; otro módulo tres y ángulo 60°. Calcula su producto.
Módulo
2 · 3 = 6.Ángulo
30° + 60° = 90°.Componentes
6 cos90° + 6i sen90° = 6i.
6i.
Su módulo es seis y su dirección el eje imaginario positivo.
División polar
Divide un complejo de módulo seis y ángulo 150° entre otro de módulo dos y ángulo 30°.
Divisor
Módulo dos: no nulo.
Módulo del cociente
6/2 = 3.Ángulo
150° − 30° = 120°.
3(cos120° + i sen120°) = −3/2 + (3√3/2)i.
El punto está en el segundo cuadrante, coherente con el ángulo.
8. Las potencias repiten el giro; las raíces deben recuperar todas las direcciones
Para un entero n ≥ 1, elevar r(cos θ + i sen θ) a n da rⁿ(cos nθ + i sen nθ). Es la fórmula de De Moivre. Los ángulos se pueden reducir por vueltas completas sin cambiar el número.
Para resolver wⁿ = z con z no nulo, escribimos z con módulo r y argumento θ. Las n raíces distintas tienen módulo ⁿ√r y ángulos (θ + 360°k)/n para k = 0, …, n − 1. Añadir las vueltas antes de dividir evita perder raíces.
Una potencia por giro
Calcula (1 + i)⁴.
Polar
Módulo √2, ángulo 45°.
Potencia
Módulo (√2)⁴ = 4; ángulo 180°.Volvemos
4(cos180° + i sen180°) = −4.
−4.
Por binómica: (1 + i)² = 2i y (2i)² = −4.
Dos raíces, no una sola
Resuelve w² = −9 en ℂ.
Número dado
Módulo nueve y ángulo 180°.
Raíces
Módulo tres; ángulos 90° y 270°.
Binómica
3i y −3i.
w = 3i o w = −3i.
Ambos cuadrados son −9. Elegir una raíz principal es otra tarea y no sustituye resolver todas las soluciones.
9. Comprobamos componentes, módulo y denominadores
Las operaciones se pueden verificar de varias maneras. Una división se comprueba multiplicando por el divisor.
Un argumento se comprueba con seno y coseno y con el cuadrante, no solo con una tangente.
Los complejos no tienen un orden compatible con las operaciones como el de los reales. No decimos que i sea positivo o negativo. El módulo sí es un real no negativo y permite hablar de distancias entre complejos: la distancia de z a w es |z − w|.
Una distancia en el plano
Halla la distancia entre 1 + i y 4 + 5i.
Diferencia
(4 + 5i) − (1 + i) = 3 + 4i.Módulo
√(3² + 4²) = 5.Interpretación
Tres horizontalmente y cuatro verticalmente.
Distancia cinco.
Se conserva la geometría de Pitágoras en las componentes.
No toda comprobación aislada identifica el número
Un producto tiene módulo cinco. ¿Basta para afirmar que el resultado es cinco?
Posibilidades
Cinco, menos cinco y cinco i tienen todos módulo cinco.
Información perdida
El módulo no determina dirección.
Comprobación necesaria
También hay que revisar componentes o argumento.
No: el módulo es una comprobación parcial.
Diferentes puntos de una misma circunferencia comparten distancia al origen.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Producto
Calcula (2+i)(3−2i).
Distributiva
(2 + i)(3 − 2i) = 6 − 4i + 3i − 2i².Relación nueva
i² = −1, así que −2i² = 2.Agrupamos
6 + 2 − i = 8 − i.Módulo
|8 − i| = √65; coincide con √5 · √13 de los factores.
8−i.
El módulo del producto es √5·√13=√65, igual al de 8−i.
EJEMPLO RESUELTO 2
División
Calcula 1/(1+i).
Divisor no nulo
1 + i tiene módulo √2.
Conjugado
Multiplicamos arriba y abajo por 1 − i.
Denominador
(1 + i)(1 − i) = 1 − i² = 2.Resultado
(1 − i)/2.
Verificamos
[(1 − i)/2](1 + i) = 2/2 = 1.
(1−i)/2.
((1−i)/2)(1+i)=1.
Los símbolos que hemos usado
- i
- Unidad imaginaria definida por i²=−1.
- z=a+bi
- Complejo en forma binómica, con a y b reales.
- Re(z)=a, Im(z)=b
- Parte real y parte imaginaria; ambas son números reales.
- z̄=a−bi
- Conjugado de z, reflejado respecto del eje real.
- |z|=√(a²+b²)
- Módulo: distancia del punto (a,b) al origen.
- r
- Módulo usado en la forma polar.
- θ
- Argumento: dirección del radio desde el eje real positivo.
- z=r(cos θ+i sen θ)
- Forma trigonométrica o polar de un complejo no nulo.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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