Pon doce fichas sobre la mesa y prepara tres platos. Vamos a repartirlas sin favorecer a ningún plato. Ese dibujo nos permitirá entender una división, encontrar su resultado y distinguirlo de otra pregunta parecida: cuántos platos se llenan si ya sabemos cuántas fichas van en cada uno.
Si necesitas repasar:
1. Un reparto igual da la misma cantidad a cada grupo
Repartimos doce fichas entre tres platos. Ponemos una en cada plato y repetimos la vuelta. Tras cuatro vueltas, cada plato tiene cuatro y no queda ninguna fuera. Hemos hecho un reparto igual y completo.
Dar seis a uno, cuatro a otro y dos al tercero usaría las mismas doce fichas, pero no cumpliría «por igual». Deben cumplirse ambas cosas: que todos reciban lo mismo y que se haya contado el total sin pérdidas.
Una ficha por turno
Reparte ocho fichas entre dos personas por igual.
Organizamos vueltas completas
En cada vuelta damos una a la primera y una a la segunda.
Contamos las vueltas posibles
Cuatro vueltas entregan las ocho. Cada persona recibe cuatro.
Cada una recibe 4 fichas.
Dos grupos de cuatro reconstruyen las ocho.
Usar todo no basta
Se reparten diez fichas dando siete a una persona y tres a otra. ¿Es un reparto igual?
Revisamos el total
7 + 3 = 10: se han repartido todas.Revisamos la igualdad
Siete y tres son distintos. Para igualar, pasamos dos de la primera a la segunda: quedan cinco y cinco.
El reparto igual sería 5 para cada una.
5 + 5 = 10 y ahora ambas cantidades coinciden.
2. La división escribe el total y entre cuántos se reparte
El doce es el total, llamado dividendo. El tres indica entre cuántos grupos lo repartimos, llamado divisor. El cuatro es cuánto recibe cada grupo, llamado cociente. El signo ÷ se lee «dividido entre»; también podemos encontrar 12 : 3.
El resultado cuenta objetos por grupo. No sumamos el doce y el tres, porque sus papeles son distintos. Cuando el reparto es exacto, divisor por cociente reconstruye el dividendo: 3 × 4 = 12.
Escribir un reparto
Quince cuadernos se reparten entre cinco personas por igual. Escribe la división.
Identificamos total y destinatarios
15 es la cantidad que se reparte y 5 el número de personas.
Buscamos el contenido igual
5 × 3 = 15: la cuenta es 15 ÷ 5 = 3.
Cada persona recibe 3 cuadernos.
Cinco personas con tres cuadernos usan los quince.
No confundir total con resultado
En 18 ÷ 3 = 6, explica qué representa cada número si repartimos lápices.
Leemos los datos del reparto
Hay dieciocho lápices y tres personas.
Interpretamos el cociente
Cada una recibe seis lápices. El seis no es el número inicial de personas.
18 lápices, 3 personas y 6 lápices por persona.
3 × 6 = 18 reconstruye el total con las unidades correctas.
3. Otra división pregunta cuántos grupos caben
Ahora tenemos doce fichas y queremos poner cuatro en cada plato. No sabemos cuántos platos hacen falta. Formamos un grupo de cuatro, otro de cuatro y otro de cuatro.
Antes conocíamos el número de grupos y buscábamos su contenido. Ahora conocemos el contenido y buscamos el número de grupos. Ambas situaciones usan división, pero el resultado representa cosas diferentes. Decir qué estamos contando evita responder «personas» donde se piden «fichas por persona».
Formar bolsas de tamaño conocido
Hay veinte canicas y ponemos cinco en cada bolsa. ¿Cuántas bolsas se llenan?
Identificamos el tamaño fijo
Cada bolsa debe contener cinco, no veinte.
Contamos grupos completos
5, 10, 15 y 20 son cuatro grupos: 20 ÷ 5 = 4.
Se llenan 4 bolsas.
Cuatro bolsas por cinco canicas son veinte canicas.
El mismo total, dos preguntas
Repartimos dieciocho fichas entre seis personas; después imaginamos bolsas de seis fichas. ¿Qué cuenta cada cociente?
Resolvemos el reparto entre personas
18 ÷ 6 = 3 fichas por persona.Resolvemos la formación de bolsas
18 ÷ 6 = 3 bolsas, cada una de seis fichas.
Los números coinciden, pero una respuesta cuenta fichas por persona y otra bolsas.
Identificar el significado del divisor determina qué representa el cociente.
4. La multiplicación permite encontrar y comprobar el cociente
La multiplicación y la división relacionan las mismas tres cantidades.
Podemos buscar el producto por grupos si no lo recordamos: 6, 12, 18, 24. Son cuatro grupos de seis. Comprobar multiplicando evita aceptar un cociente que no utiliza exactamente el total.
Una tabla conocida
Calcula 35 ÷ 7.
Buscamos un factor que complete el total
7 × 5 = 35.Leemos la operación inversa
35 ÷ 7 = 5.
El cociente es 5.
Cinco grupos de siete no dejan objetos sin contar.
La comprobación detecta un cociente pequeño
Se propone que 32 ÷ 4 = 7. Revisa.
Reconstruimos el total propuesto
4 × 7 = 28: faltan cuatro para llegar a 32.Completamos otro grupo
Un grupo más de cuatro da 32. El cociente correcto es 8.
32 ÷ 4 = 8.
La revisión localiza un grupo completo que se había olvidado.
5. Entre uno y con total cero son repartos distintos
Repartir siete fichas entre una persona le da todas: 7 ÷ 1 = 7. Repartir cero fichas entre tres personas da cero a cada una: 0 ÷ 3 = 0. El divisor de estos repartos es positivo.
Dividir entre cero no define este reparto. Si hubiera siete objetos, no existiría un número q con 0 × q = 7. Si el total también fuera cero, cualquier q daría 0 × q = 0 y no habría un cociente único. Por eso no calculamos 7 ÷ 0 ni 0 ÷ 0.
Un solo destinatario
Reparte nueve tarjetas entre una persona.
Identificamos cuántas partes iguales necesitamos
Solo hay un grupo.
Le damos el contenido completo
9 ÷ 1 = 9.
Recibe 9 tarjetas.
1 × 9 = 9 recupera el total.
No confundir las posiciones del cero
Compara 0 ÷ 8 con 8 ÷ 0.
Cero como total
Ocho grupos pueden recibir cero cada uno: 0 ÷ 8 = 0.
Cero como divisor
Ningún q cumple 0 × q = 8.La segunda división no está definida.
La primera vale 0; la segunda no tiene cociente.
Intercambiar total y divisor cambia la pregunta.
6. Repartir decenas y unidades conserva el total
84 son ocho decenas y cuatro unidades. Entre dos personas, las ocho decenas dan cuatro decenas a cada una; las cuatro unidades dan dos unidades. Cada una recibe 4 D y 2 U, es decir, 42.
Esta separación es útil cuando cada parte se reparte exactamente. Si alguna parte deja sobrante, tendremos que conservarlo y cambiarlo de agrupación, como veremos al estudiar el resto.
Cada parte se reparte por igual
Calcula 96 ÷ 3 por decenas y unidades.
Repartimos las nueve decenas
9 D entre tres dan 3 D a cada grupo.
Repartimos las seis unidades
6 U entre tres dan 2 U. El total por grupo es 32.
96 ÷ 3 = 32.
3 × 32 = 96.
Una columna vacía se mantiene
Calcula 408 ÷ 4.
Repartimos centenas y decenas
4 C entre cuatro dan 1 C por grupo. No hay decenas para repartir.
Repartimos las ocho unidades
Cada grupo recibe 2 U: se escribe 102, con cero en decenas.
408 ÷ 4 = 102.
4 × 102 = 408. Escribir 12 perdería el valor de la centena.
7. Un reparto completo pasa dos comprobaciones
Primero, todos los grupos deben contener lo mismo. Segundo, al reunir sus contenidos debemos recuperar el total. Cuatro grupos de cinco darían veinte objetos: no serían una división exacta de veinticuatro, aunque los cuatro grupos fueran iguales.
También revisamos qué se preguntó. Si repartimos lápices entre personas, damos una respuesta en lápices por persona. Si formamos paquetes de tamaño fijo, respondemos cuántos paquetes se forman. Una cuenta correcta puede acompañarse de una respuesta mal interpretada.
Grupos iguales pero incompletos
Se reparten veinticuatro fichas entre cuatro personas, dando cinco a cada una. ¿Ha terminado el reparto?
Reconstruimos lo entregado
4 × 5 = 20.Siguen fuera cuatro fichas.
Completamos una vuelta
Damos otra a cada persona: ahora reciben seis y se usan las veinticuatro.
Cada una debe recibir 6 fichas.
4 × 6 = 24 y todos reciben la misma cantidad.
Interpretar la comprobación
Treinta cartas forman grupos de seis. Al calcular 30 ÷ 6 = 5, ¿qué significa cinco?
Leemos el tamaño que ya conocíamos
Cada grupo contiene seis cartas.
Nombramos lo que buscábamos
El cociente cuenta cinco grupos, no cinco cartas por grupo.
Se forman 5 grupos.
Cinco grupos de seis reconstruyen las treinta cartas.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Repartir cuadernos por igual
Repartimos 24 cuadernos entre 6 estudiantes por igual. ¿Cuántos recibe cada estudiante?
Identificamos la pregunta
Hay 24 cuadernos y 6 estudiantes. Buscamos cuántos recibe cada estudiante.
Buscamos el producto inverso
6 × 4 = 24.Interpretamos el cociente
24 ÷ 6 = 4 cuadernos por estudiante.Comprobamos igualdad y total
Todos reciben cuatro; seis grupos de cuatro contienen veinticuatro cuadernos.
Cada estudiante recibe 4 cuadernos.
6 × 4 = 24 y el reparto es igual para todos.
EJEMPLO RESUELTO 2
Formar bolsas con la misma cantidad
Hay 35 canicas. Guardamos 5 en cada bolsa. ¿Cuántas bolsas completas formamos?
Fijamos el tamaño de cada bolsa
Hay 35 canicas y cada bolsa completa contiene 5.
Contamos los grupos
5, 10, 15, 20, 25, 30 y 35 son siete grupos.
Escribimos la división
35 ÷ 5 = 7 bolsas.Comprobamos
7 × 5 = 35: se forman siete bolsas completas sin sobrantes.
Formamos 7 bolsas.
El total se recupera multiplicando bolsas por canicas por bolsa.
Los símbolos que hemos usado
- ÷
- Dividido entre: signo de división.
- Dividendo
- Cantidad total que repartimos o agrupamos.
- Divisor
- Número de grupos o tamaño de cada grupo, según la pregunta.
- Cociente
- Resultado de la división.
- División exacta
- Reparto sin objetos sobrantes.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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