Distribución normal y aproximaciones

Usaremos N(μ,σ²): el segundo parámetro es la varianza. μ es la media y σ>0 la desviación típica.

La campana es simétrica alrededor de μ; al ensancharla baja su altura para conservar área total uno.

Su densidad es f(x)=exp[−(x−μ)²/(2σ²)]/[σ√(2π)]. exp significa exponencial de base e. La fórmula especifica la curva para toda entrada real. No necesitaremos una primitiva elemental: usaremos acumuladas, tablas o cálculos numéricos. La campana sigue por toda la recta, más allá del dibujo.

Una altura no es una probabilidad: necesitamos anchura. Media, mediana y moda coinciden en μ, pero P(X=μ)=0 porque la normal no tiene masas puntuales.

Por eso incluir o excluir un extremo no cambia una probabilidad de intervalo. La simetría reparte la mitad del área a cada lado de μ. Aproximadamente el 68,27 % está a una desviación del centro y el 95,45 % a dos; las colas continúan fuera de esas franjas.

Z=(X−μ)/σ mide cuántas desviaciones separan una entrada de la media. Si X es normal, Z~N(0,1), la normal estándar. Restar μ centra y dividir por σ cambia la unidad. Como σ es positivo, no invierte la desigualdad.

Un z positivo queda por encima del centro y uno negativo por debajo. El resultado z no tiene unidades; dividir por σ² dejaría una unidad incorrecta y una distancia estándar falsa.

Una tabla puede mostrar otra cosa, como el área entre cero y z, así que primero leemos qué acumula.

Para un intervalo tipificamos ambos extremos y restamos la acumulada del inferior a la del superior.

Las cifras de tabla están redondeadas: el resultado numérico se escribe como aproximación.

El cuantil de X es μ+σzq. Es la pregunta inversa: antes teníamos un límite y buscábamos área; ahora tenemos un área y buscamos el límite.

Para un intervalo central de probabilidad 1−α dejamos α/2 en cada cola: μ±z₁₋α/₂σ. El conocido 1,96 es aproximadamente el cuantil 0,975, por eso μ±1,96σ contiene alrededor del 95 % de observaciones de una normal conocida. Un intervalo de confianza para una media responde a otra pregunta y usa la escala de esa media muestral.

Si X es normal y a≠0, aX+b es normal con media aμ+b y varianza a²σ²; su desviación es |a|σ.

Las sumas de normales independientes son normales y suman medias y varianzas.

Para observaciones independientes con la misma distribución y varianza finita, el teorema central del límite aproxima la media por una normal al crecer n, con centro μ y escala σ/√n. Si las observaciones ya son normales, esa distribución de la media es exacta para cualquier n.

El teorema aproxima medias; no convierte en normales los datos individuales.

Si X~Bin(n;p), una normal Y de centro np y desviación √[np(1−p)] puede aproximar su distribución cuando los dos tipos de resultados esperados son numerosos. Los umbrales habituales cinco o diez son orientativos y no ofrecen una precisión universal en todas las colas.

La corrección de continuidad representa el entero k con [k−0,5;k+0,5].

Un punto aislado de la normal tiene masa cero; no puede representar sin anchura la masa discreta de un entero.

Una muestra aproximadamente simétrica no demuestra normalidad exacta. Miramos soporte real de la cantidad, asimetría, colas y proceso que produjo los datos. Si la cantidad no puede ser negativa, una normal solo es una aproximación razonable cuando su probabilidad negativa es despreciable para la pregunta.

Revisamos centro, signo de z y área pedida antes de aceptar una salida numérica. Una entrada mayor que μ debe tener acumulada mayor que un medio. Conservamos el carácter aproximado de tablas y métodos y no inventamos decimales que la información disponible no sostiene.