Sucesiones y progresiones

El subíndice cuenta la posición, no multiplica al valor. Si se declara que cada paso suma tres, podemos continuar con esa regla.

S₃ suma tres valores, mientras que a₃ solo nombra el tercero. Una lista corta por sí sola no determina una continuación única; la regla de progresión es una hipótesis del problema.

Una progresión aritmética añade siempre la misma diferencia d: a₂ = a₁ + d, a₃ = a₁ + 2d. Para llegar desde la primera posición hasta la n hay n − 1 saltos.

La diferencia puede ser negativa o cero. Si conocemos dos términos podemos contar cuántos saltos los separan: aⱼ − aᵢ = (j − i)d. Comprobamos la regla indicada y no confundimos número de términos con número de saltos.

Escribimos Sₙ en orden normal y debajo en orden inverso. Cada columna suma a₁ + aₙ porque en una aritmética el avance desde un extremo se compensa con el retroceso desde el otro.

Dividimos entre dos porque escribimos la suma dos veces: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Funciona también cuando n es impar; el término central se suma consigo mismo en las dos filas. Primero hallamos el último término que realmente queremos incluir.

Con inicio tres y razón dos, la lista es 3, 6, 12, 24… Los n − 1 pasos multiplicativos dan aₙ = a₁r^(n−1), para r ≠ 0. Si r = 0, el primer término es a₁ y todos los siguientes cero; no necesitamos escribir 0⁰.

Una razón negativa alterna signos si el inicio no es cero. Una razón entre cero y uno reduce el módulo de los términos. Para reconocer una razón mediante cocientes hace falta que los términos usados como divisores no sean cero.

Al restar Sₙ − rSₙ se cancelan los términos interiores y queda a₁ − a₁rⁿ.

Si r = 1, todos los términos valen a₁ y Sₙ = na₁: no dividimos entre cero.

No acabamos de sumar infinitos términos uno a uno. Estudiamos si Sₙ se acerca a un número cuando n crece. Con a₁ no nulo, una geométrica tiene suma infinita ordinaria si |r| < 1, porque rⁿ tiende a cero.

Si |r| ≥ 1 y a₁ ≠ 0, los términos no tienden a cero y la serie no converge. Tender a cero es necesario para cualquier serie, aunque no suficiente en general. Si a₁ = 0, todos los términos son cero y la suma es cero para cualquier razón declarada.

Ese resto tiene signo: puede ser positivo o negativo si alternan los términos. El error absoluto es |Rₙ| y permite elegir cuántos términos bastan para una tolerancia.

Una aproximación no es la suma exacta salvo que el resto sea cero. Podemos comprobar la tolerancia mediante potencias sin redondear pronto. Al aumentar n, la cota geométrica se reduce según |r|.

En una aritmética buscamos diferencias constantes; en una geométrica, multiplicación por una razón constante. Un ejemplo corto sugiere patrones, pero el problema debe declarar o justificar la regla para extrapolar a todos los índices. No usamos una fórmula de suma aritmética para una geométrica.

Revisamos si se pide aₙ, Sₙ o la suma infinita. Probamos n = 1 para detectar un salto de más, y distinguimos n de n − 1: la potencia de la suma geométrica usa n, mientras la del término n usa n − 1.