Primero distinguiremos una población de su velocidad de cambio. Después introduciremos recursos limitados y un modelo con tres grupos que intercambian personas. Los parámetros y cifras de los ejemplos son académicos e inventados para entender las ecuaciones; cada conclusión se refiere al modelo y a sus supuestos.
Si necesitas repasar:
1. Una población y su tasa de cambio tienen unidades diferentes
N(t) representa individuos y N′ individuos por unidad de tiempo. Un balance suma nacimientos y entradas y resta muertes y salidas. Si el cambio neto por individuo es una constante r, entonces 
y 
. r tiene unidades tiempo⁻¹.
Tratar N como continua aproxima grupos grandes; no describe literalmente una fracción de un individuo en cada realización pequeña. El crecimiento exponencial no incluye recursos limitados, cambios de r ni fluctuaciones aleatorias.
Tasa y tamaño no son el mismo número
N₀=50 y r=1/5 por día.
Al inicio
N′(0)=50/5=10 individuos por día.Después de cinco días
N(5)=50e≈135,9.Nueva tasa
N′(5)=N(5)/5≈27,2 individuos por día.
Una tasa por individuo constante no significa una tasa total constante.
La extrapolación depende de mantener r fijo.
Una tasa negativa
r=−1/2 por día y N₀=80.
Solución
N(t)=80e⁻ᵗᐟ².Tiempo de mitad
80e⁻ᵗᐟ²=40 exige t=2log 2 días.Interpretación
La población disminuye y permanece positiva para todo tiempo finito.
El modelo continuo se aproxima a cero, sin describir por sí solo el instante de extinción discreta.
No da valores negativos porque la exponencial es positiva.
2. La logística reduce el crecimiento por individuo cuando aumenta el tamaño
.Los equilibrios no negativos son cero y K. K es un parámetro de capacidad del modelo, no una constante universal del ambiente.
![N(t)=K/[1+(K/N_0-1)e^{-rt}]](../assets/builds/567cd5e2327763420eb0c3cfba1f44a465c95bc5f36d0596a573c2c074c449e1/math-b6bb94055a3f.svg)
.Si N₀=0, la solución es cero y no usamos una fórmula que divida por ese dato.
Seguir una población por debajo de capacidad
r=1, K=100 y N₀=20.
Coeficiente
K/N₀−1=4.Solución
N(t)=100/(1+4e⁻ᵗ).Mitad de capacidad
En t=log 4, e⁻ᵗ=1/4 y N=50.
La población crece hacia cien sin superarlo en este modelo.
Cincuenta es un tamaño; log cuatro es un tiempo en las unidades elegidas.
Empezar por encima
r=1, K=100, N₀=150.
Coeficiente
K/N₀−1=−1/3.Solución
N(t)=100/(1−e⁻ᵗ/3).Para t≥0
El denominador sube de 2/3 hacia uno: N baja de 150 hacia 100.
La misma ecuación permite aproximarse a capacidad desde arriba.
No se usa una interpretación de crecimiento positivo para todo N.
3. El máximo de la tasa no es la población máxima
Su derivada g′=r(1−2N/K) vale r en cero y −r en K: el equilibrio cero es inestable frente a pequeños datos positivos y K es estable localmente. El signo de g describe además la dirección del movimiento.
Es el máximo de N′ respecto al tamaño, no un instante. Para saber cuándo se alcanza hace falta N₀ y la solución.
Calcular la tasa máxima
r=2/5 y K=200.
Tamaño
N=K/2=100.Tasa
rK/4=(2/5)·200/4=20.Unidades
Veinte individuos por unidad de tiempo, no población total veinte.
La velocidad de crecimiento deja de aumentar después de la mitad de capacidad.
La población puede seguir creciendo aunque N′ empiece a disminuir.
Calcular cuándo ocurre
Mismos parámetros y N₀=20.
Solución
N=200/(1+9e⁻⁽²ᐟ⁵⁾ᵗ).Imponer N=100
9e⁻⁽²ᐟ⁵⁾ᵗ=1.Despejar
t=(5/2)log 9.
El tamaño del máximo depende de K; su instante también depende del dato inicial.
Si el dato empieza por encima de K/2, no atraviesa ese tamaño al crecer desde abajo.
4. SIR usa transferencias entre susceptibles, infecciosos y retirados
Usaremos proporciones S,I,R≥0 con S+I+R=1, población cerrada y mezcla homogénea.
R reúne quienes ya no participan en transmisión según el modelo.
Las ecuaciones son 
. El mismo flujo que sale de un grupo entra en otro. No hay nacimientos, inmigración ni retorno a susceptible en esta versión.
Hacer un balance instantáneo
S=4/5, I=1/10, R=1/10, β=2 y γ=1/2 por día.
Entrada a I
βSI=2·(4/5)·(1/10)=4/25=0,16 por día.Salida de I
γI=1/20=0,05 por día.Tasas
S′=−0,16; I′=0,11; R′=0,05.Suman cero.
I crece porque recibe más flujo del que pierde.
Las cifras son tasas de proporción, no números de personas.
Sin semilla de infección
I=0 y S+R=1.
Contagios
βS·0=0.Retirada
γ·0=0.Estado
Las tres derivadas son cero.
El modelo determinista no crea infección espontánea desde I=0.
Un aporte externo de infecciosos requeriría otra ecuación.
5. Normalizar cambia las variables y exige mantener las unidades
Si contamos individuos con una población total constante 
, la incidencia usual correspondiente es 
. Al escribir S=
/ e I=
/ y dividir las derivadas por , recuperamos βSI.
Otra convención puede escribir una tasa de individuos proporcional a 
_c sin divisor, pero entonces el parámetro tiene otra escala y unidades. No se mezclan ecuaciones de cantidades y proporciones manteniendo el mismo β sin convertirlo.
Convertir el balance a personas
=1000 y los parámetros y proporciones del ejemplo anterior.
Cantidades
=800, =100, 
=100.Flujos
2·800·100/1000=160 contagios por día; retirada (1/2)·100=50.Infecciosos
′=110 personas por día; al dividir por mil recuperamos 0,11.
Las dos descripciones cuentan el mismo balance con unidades distintas.
Omitir el divisor conservando β=2 produciría otra escala de transmisión.
Leer el parámetro básico
En proporciones, β=2 por día y γ=1/2 por día.
Cociente
ℛ₀=β/γ=4.Unidades
Día⁻¹ dividido por día⁻¹: ℛ₀ es adimensional.
Condición
Este número básico se refiere a una población susceptible de referencia; el crecimiento real también depende de S.
Un número sin unidades puede depender de cómo se definió el modelo.
No se interpreta como cuatro personas nuevas en cualquier estado de la población.
6. Conservación y no negatividad se comprueban en las ecuaciones
Si el total empieza en uno, permanece en uno. Además S no aumenta y R no disminuye. I puede aumentar o disminuir sin contradecir la conservación.
Con datos no negativos, S e I se expresan con exponenciales multiplicadas por sus valores iniciales, y R acumula γI. Esto conserva no negatividad en este sistema regular. La región de proporciones admisibles es un triángulo cerrado, no todo R³.
Ver los signos directamente
Mientras exista la solución, integra las ecuaciones escalares.
Susceptibles
.Infecciosos
.Retirados
.
Las dos primeras nunca cambian a signo negativo y la tercera no decrece.
Un método numérico sí podría violarlo si se eligiera mal el paso.
No hay un único equilibrio sin infección
Compara (S,I,R)=(1,0,0) y (1/4,0,3/4).
Admisibles
Ambos tienen coordenadas no negativas y suma uno.
Flujos
Con I=0 todos los flujos se anulan.Familia
Cualquier (S,0,1−S), con 0≤S≤1, es equilibrio.
Conservar población no fija el reparto final entre compartimentos.
Equilibrio y estabilidad ante introducir infección son preguntas distintas.
7. El umbral usa los susceptibles reales y requiere I positivo
.
.Si I=0 no hay crecimiento aunque ese factor sea positivo.
En una población casi totalmente susceptible, ℛ₀=β/γ sirve como referencia. No reemplazamos S₀ por uno en un dato donde no lo sea. Un criterio de crecimiento inicial no da por sí solo tamaño final ni un calendario.
Un mismo ℛ₀, dos signos
β=2, γ=1/2 e I>0.
Umbral
=γ/β=1/4.S=4/5
βS−γ=11/10>0: I crece y ℛ_e=16/5.S=1/10
βS−γ=−3/10<0: I disminuye y ℛ_e=2/5.
ℛ₀=4 en ambos casos, pero cambia el crecimiento efectivo.
El signo se decide usando S actual.
El pico exige algo más que una tasa inicial
En una solución con I>0 que empieza creciendo.
Susceptibles
S′=−βSI<0 mientras S,I sean positivos.Condición crítica
I′=0 al llegar S=γ/β.Signo posterior
Por debajo de ese valor I decrece.
El umbral identifica el tamaño susceptible en el pico, no su instante.
Para calcular la fecha y altura se necesita seguir la solución con sus datos.
8. Los datos contrastan el modelo y no eliminan incertidumbre de parámetros
SIR supone mezcla homogénea, parámetros fijos y los compartimentos indicados. Edades, redes, nacimientos o cambios de conducta pueden exigir extensiones. Ajustar una curva no demuestra que cada parámetro quede identificado con precisión.
También hay comprobaciones analíticas. Para S>0, 
es constante a lo largo de este SIR. Esa relación conecta valores de una misma trayectoria; no autoriza pronósticos reales sin estimar parámetros y contrastar supuestos.
Derivar una cantidad constante
C=I+S−(γ/β)log S.
Primeros términos
I′+S′=−γI.Logaritmo
−(γ/β)S′/S=−(γ/β)(−βI)=γI.Cancelar
C′=−γI+γI=0.
La relación se comprueba sin una fórmula explícita para S(t).
Se ha usado S>0 para el logaritmo.
Una tasa inicial no identifica dos parámetros
S₀=9/10 e I₀>0; se conoce I′(0)/I₀=1/5.
Primera pareja
β=1, γ=7/10: βS₀−γ=1/5.Segunda
β=2, γ=8/5: βS₀−γ=1/5 también.Distinguir
Dan ℛ₀=10/7 y 5/4, respectivamente.
La misma tasa instantánea puede ser compatible con parámetros distintos.
Hacen falta más observaciones e hipótesis para distinguirlos.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Tasa logística
Con r=2,K=100,N=25, calcula N′.
Modelo
N′=rN(1−N/K).Sustituir
r=2, N=25, K=100.Fracción
N/K=1/4 y 1−N/K=3/4.Multiplicar
N′=2·25·3/4=75/2.Unidad
Individuos por unidad de tiempo.
Comprobar
Es positiva porque N está entre cero y K; no es el valor de la población.
N′=75/2 individuos por unidad de tiempo.
El crecimiento es positivo porque N<K.
EJEMPLO RESUELTO 2
Umbral SIR
En el SIR normalizado, con β=3, γ=1, S₀=1/2 e I₀>0, decide si I crece inicialmente.
Ecuación
I′=(βS−γ)I.Datos
β=3, γ=1 y S₀=1/2.Coeficiente
βS₀−γ=3/2−1=1/2.Signo
Como I₀>0, I′(0)=I₀/2>0.Decisión
I crece inicialmente.
Comprobar
Se ha usado el S₀ dado, sin sustituirlo por uno ni calcular un tamaño final.
I crece inicialmente.
No se ha usado S₀=1 de forma implícita.
Los símbolos que hemos usado
- N(t)
- Tamaño poblacional en el modelo continuo.
- r / K
- Tasa intrínseca de crecimiento / capacidad de carga del modelo logístico.
- S,I,R
- Proporciones susceptibles, infecciosas y retiradas en el SIR normalizado.
- β / γ
- Tasa de transmisión del modelo normalizado / tasa de retirada.
- ℛ₀=β/γ
- Número reproductivo básico en este SIR con población inicialmente susceptible.
- ℛₑ(t)=βS(t)/γ
- Umbral efectivo al tener en cuenta la fracción susceptible.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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