Una concentración puede cambiar porque se produce o consume sustancia y porque esta viaja entre lugares. Separaremos ambas causas con un balance. Después veremos qué significa perturbar un equilibrio y por qué dos sustancias que difunden a ritmos distintos pueden comportarse de otra manera que una sola.
Si necesitas repasar:
1. La reacción cambia cantidad y la difusión la transporta
El balance local es 
. u es concentración, J flujo y f producción menos consumo. La ley de Fick 
, con D>0 constante, conduce a 
. El menos en J dirige flujo hacia concentración menor.
D tiene unidades longitud²/tiempo y f concentración/tiempo. En varios componentes cada concentración tiene su balance y las reacciones pueden estar acopladas. Antes de calcular una tasa conviene decidir qué parte transporta y qué parte produce.
Dos compartimentos conectados
Volúmenes uno, concentraciones tres y uno, conductancia de intercambio dos y sin reacción.
Diferencia
Tres menos uno es dos.
Transferencia
F=2·(3−1)=4 hacia la derecha.Balance
Las tasas son −4 y +4; su suma es cero y el total inicial es cuatro.
Este modelo discreto ilustra redistribución, con una misma transferencia que sale y entra.
La conductancia de compartimentos incorpora la geometría; no se identifica sin unidades con cualquier D de una EDP.
Producción y consumo
f(u)=u(1−u), en unidades normalizadas.
u=1/4
f=3/16>0: producción neta.u=3/2
f=−3/4<0: consumo neto.Sin gradiente
Si la concentración es espacialmente uniforme, la difusión aporta cero.
La reacción puede cambiar la cantidad aunque no haya movimiento espacial.
Los signos de f no sustituyen las condiciones de frontera.
2. La frontera decide con qué exterior intercambiamos sustancia
Un problema incluye dominio, u(x,0) y frontera. Dirichlet fija concentración; Neumann de flujo nulo fija derivada normal cero; periodicidad identifica extremos. Estas elecciones cambian tanto el balance total como los modos permitidos.
Con flujo nulo y regularidad adecuada, 
. La integral del laplaciano se convierte en flujo de borde y se anula. Con concentración fijada en el borde, puede haber intercambio aunque no haya reacción.
Un perfil que conserva su masa
Difusión pura en [0,π], flujo nulo y u=2+e⁻ᴰᵗcos x.
Frontera
uₓ=−e⁻ᴰᵗsin x se anula en ambos extremos.Ecuación
uₜ=−De⁻ᴰᵗcos x y Duₓₓ tiene el mismo valor.Masa
porque la integral de cos x es cero.
El perfil se aplana sin cambiar el total.
La concentración en cada punto sí puede cambiar.
No intercambiar dos fronteras
Compara cos x y sin x en [0,π].
Coseno
Su derivada se anula en los extremos: sirve para perturbaciones de Neumann.
Seno
Su valor se anula en los extremos: sirve para perturbaciones de Dirichlet homogénea.
Comprobar
La derivada del seno en cero vale uno: no cumple flujo nulo allí.
Elegir un modo sin revisar la frontera puede resolver otro problema.
Los valores de una solución completa incluyen además su equilibrio de referencia.
3. Un equilibrio homogéneo debe cumplir reacción y frontera
También debe satisfacer el borde. Un equilibrio es una solución estacionaria exacta; su estabilidad pregunta qué ocurre al separarnos un poco de él.
Puede haber equilibrios no homogéneos con DΔu+f(u)=0, donde reacción y difusión se compensan.
Logística y frontera
f(u)=u(1−u).
Reacción
u*=0 o u*=1 anulan f.Flujo nulo
Ambas constantes son compatibles.
Dirichlet cero
Solo la constante cero cumple u=0 en los extremos; la constante uno queda excluida.
Resolver f=0 no es todavía revisar todo el problema de frontera.
La compatibilidad no demuestra estabilidad.
Un equilibrio espacial no constante
En [0,π], D=1, f(u)=u y Dirichlet cero.
Proponer
u(x)=a sin x, con a≥0.Derivar
uₓₓ=−u.Balance
uₓₓ+f(u)=−u+u=0 y se cumplen los dos extremos.
La reacción no es cero en el interior, pero el balance estacionario sí.
Es un ejemplo del modelo lineal f(u)=u, no del logístico anterior.
4. Linealizar mantiene el primer cambio y controla qué se omite
Con f diferenciable, 
. Como f(u*)=0, el primer orden satisface 
.
Esta ecuación aproxima perturbaciones pequeñas; no es toda la ecuación no lineal. Si la tasa crítica es cero, el primer orden puede no decidir estabilidad. Que una perturbación empiece creciendo tampoco predice por sí solo la amplitud final de un patrón.
Ver el término que se descarta
Logística alrededor de u*=1: u=1+εv.
Expandir
(1+εv)(−εv)=−εv−ε²v².Dividir por ε
vₜ=DΔv−v−εv².Primer orden
Se omite el término cuadrático pequeño: vₜ=DΔv−v.
El coeficiente lineal es menos uno y su origen se ve en la expansión.
Si εv deja de ser pequeño, no basta esta aproximación.
La misma linealización puede ocultar signos distintos
Sin variación espacial, compara u′=u³ y u′=−u³ cerca de cero.
Derivada
Ambas reacciones tienen f′(0)=0.Primer modelo
Una perturbación positiva crece.
Segundo
Una perturbación positiva disminuye hacia cero.
Una tasa lineal nula no decide entre estos comportamientos.
Los términos superiores son la información que se perdió.
5. Cada modo espacial tiene una amplitud que crece o decae
, donde r=f′(u*).Tasa negativa significa decaimiento y positiva crecimiento.
En [0,π] con Neumann, 
, incluyendo n=0.
Comparar dos frecuencias
r=2, D=1/2 y Neumann en [0,π].
n=1
λ=1 y tasa 2−1/2=3/2: crece.n=3
λ=9 y tasa 2−9/2=−5/2: decae.Amplitudes
Partiendo de amplitud a₀, evolucionan como a₀e³ᵗᐟ² y a₀e⁻⁵ᵗᐟ².
La misma reacción puede amplificar escalas lentas y amortiguar las rápidas.
No se resta Dn cuando corresponde Dn².
El modo constante
Neumann y n=0.
Forma
φ₀=1 y λ₀=0.Tasa
r−D·0=r.Interpretar
La difusión no cambia una perturbación uniforme.
Un término difusivo grande no elimina una inestabilidad homogénea bajo estas fronteras.
Con Dirichlet homogénea no hay ese mismo modo constante no nulo.
6. Una sola especie estable no se desestabiliza añadiendo esta difusión
En este marco escalar, la difusión no vuelve inestable un equilibrio homogéneo ya estable por reacción. Los modos de mayor λ se amortiguan más.
En Dirichlet el menor λ es positivo y puede desplazar todos a tasas negativas; en Neumann queda el constante. El resultado depende de la frontera y de que la difusión sea la positiva declarada.
Equilibrio logístico positivo
u*=1 tiene r=−1. Toma D=1 y modos de Neumann.
Constante
Tasa −1.
n=1
Tasa −2.
n=3
Tasa −10.
Todos decaen en el análisis lineal, con mayor amortiguamiento a frecuencia alta.
No se ha descrito aquí cualquier sistema con varias sustancias.
El tamaño puede estabilizar un equilibrio de reacción inestable
r=1, D=1 y Dirichlet homogénea en [0,L].
Menor autovalor
λ₁=(π/L)².L=π/2
λ₁=4 y la mayor tasa es 1−4=−3; las otras son menores.
L=2π
λ₁=1/4 y su tasa es 3/4>0.
La frontera y el tamaño cambian qué longitudes de onda caben.
Se analiza un equilibrio compatible con Dirichlet, como u*=0.
7. Dos especies producen una matriz distinta para cada modo
Para U vectorial y difusión diagonal positiva D, se linealiza la reacción con J=Df(U*).
.La estabilidad depende de las partes reales de sus autovalores. Difusividades distintas no desplazan todos los autovalores por el mismo número.
Una inestabilidad de Turing exige reacción homogénea estable y algún modo espacial permitido inestable al introducir difusión. Si D=dI, solo se restan dλ a los autovalores y ese mecanismo no aparece.
Una banda que se vuelve inestable
Ejemplo de linealización: 
.
Sin difusión
tr J=−2 y det J=1: los dos autovalores son −1.Con modo λ
La traza es −2−11λ; el determinante es 1−7λ+10λ².
Banda
El determinante es negativo para 1/5<λ<1/2.Allí hay un autovalor positivo y otro negativo.
Es una demostración de inestabilidad lineal para esa matriz y esos modos.
J es una linealización de ejemplo; no certifica por sí sola un patrón biológico no lineal.
La banda no basta si no cabe ningún modo
Neumann en [0,L], con la misma J y D.
L=π
Los autovalores espaciales son n²; ninguno está entre 1/5 y 1/2.
L=π√3
Son n²/3. El primero no constante es 1/3 y sí está en la banda.
Comprobar
En λ=1/3, tr=−17/3 y det=−2/9: hay crecimiento.
La geometría selecciona qué valores de λ son reales para el problema.
No se toma un λ continuo cualquiera ignorando la frontera.
8. Crecimiento lineal, patrón final y error numérico se distinguen
Para hablar de patrón se estudian también términos no lineales, amplitud, positividad, estabilidad y frontera. Una figura irregular de una simulación no prueba que exista un patrón estable del modelo. Se revisan balances y refinamiento espacial y temporal.
Incluso un modo que decae exactamente puede crecer en una discretización con paso excesivo.
Ese factor debe analizarse antes de interpretar colores o irregularidades.
Un crecimiento inventado por el paso
a′=−4a, solución exacta a₀e⁻⁴ᵗ.
Δt=1
Euler multiplica por 1−4=−3: la amplitud cambia de signo y aumenta de módulo.
Δt=1/10
El factor es 3/5, de módulo menor que uno.
Comparar
El factor exacto en ese paso es e⁻⁰ᐧ⁴≈0,6703; la aproximación estable todavía tiene error.
Una explosión numérica puede ser del método, no de la ecuación.
Estabilidad numérica y precisión son comprobaciones diferentes.
Qué sigue tras un autovalor positivo
La matriz modal tiene una dirección que crece.
Etapa inicial
Una componente en esa dirección se amplifica mientras sea pequeña.
Más adelante
Los términos no lineales pueden saturar, trasladar o destruir esa forma.
Conclusión
Para afirmar un patrón final hacen falta esos términos y su análisis.
El análisis lineal identifica un mecanismo y una escala inicial.
No sustituye resolver y comprobar el problema no lineal.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Equilibrios logísticos
Para f(u)=u(1−u), halla equilibrios homogéneos.
Constante
Para un equilibrio homogéneo, uₜ=Δu=0.Reacción
Hay que resolver u(1−u)=0.Primer factor
u=0.Segundo
1−u=0 da u=1.Verificar
Ambos anulan la reacción y satisfacen la EDP interior homogénea.
Frontera
Para considerarlos soluciones del problema completo se comprueba la condición de borde; ambos sirven con flujo nulo.
Los equilibrios son 0 y 1.
Ambos satisfacen la EDP homogénea.
EJEMPLO RESUELTO 2
Amortiguar un modo
Con f′(u*)=−1,D=2,λ=3, calcula la tasa.
Modo
La tasa lineal es α=f′(u*)−Dλ.Datos
f′(u*)=−1, D=2 y λ=3.Difusión
Dλ=6.Restar
α=−1−6=−7.Amplitud
a(t)=a(0)e⁻⁷ᵗ.Comprobar
Es negativa: este modo decae y la difusión refuerza su estabilidad.
La perturbación decae como e^(−7t).
La difusión refuerza estabilidad en este modo.
Los símbolos que hemos usado
- u(x,t)
- Concentración o densidad dependiente de posición y tiempo.
- D>0
- Coeficiente de difusión escalar.
- f(u)
- Producción neta local por reacción.
- u*
- Equilibrio homogéneo que satisface f(u*)=0 y las fronteras.
- −Δφ=λφ
- Modo propio del operador espacial con las condiciones de frontera elegidas.
- J
- Jacobiano de las reacciones en un sistema de varios componentes.
- Tasa modal
- Exponente que determina el crecimiento o decaimiento lineal de un modo.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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