Geometría de la relatividad general · La Pizarra Matemática

En un plano ordinario sumamos cuadrados para medir distancias. En espacio-tiempo el término temporal tiene otro signo. Empezaremos clasificando flechas con esa regla y dibujando el cono de luz. Después veremos cómo una métrica determina geodésicas y cómo distinguir coordenadas complicadas de curvatura real.

Si necesitas repasar:

1. La métrica lorentziana tiene un signo temporal diferente

Un espacio-tiempo es una variedad de dimensión cuatro con una métrica lorentziana. Usamos firma (−,+,+,+).

En Minkowski y coordenadas estándar, $ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$ , con c=1.

Con unidades ordinarias el primer término es −c²dt².

Para v=(t,x,y,z), g(v,v)=−t²+x²+y²+z².

Puede ser negativo o cero aunque v≠0, así que no es una norma euclídea. En una geometría curva los coeficientes de la métrica varían y la expresión simple se obtiene en un marco ortonormal local.

Calcular antes de clasificar

v=(3,1,0,0).

Temporal
−3²=−9.
Espacial
1²+0+0=1.
Sumar
g(v,v)=−8, distinto de la suma euclídea diez.

Resultado

El signo temporal forma parte de la geometría declarada.

Lo comprobamos

No tomamos una raíz euclídea de un resultado negativo.

Reponer unidades

Separación temporal Δt y desplazamiento Δx en una dimensión.

Dimensiones
No se suman segundos al cuadrado y metros al cuadrado directamente.
Convertir
cΔt se mide en metros.
Intervalo
s²=−c²Δt²+Δx².

Resultado

Fijar c=1 es escoger unidades compatibles, no borrar la dimensión del tiempo.

Lo comprobamos

Los superíndices de índices tensoriales no siempre representan potencias.

2. El signo clasifica y la orientación distingue futuro de pasado

Para un vector no nulo, g(v,v)<0 significa temporal, g(v,v)=0 nulo y g(v,v)>0 espacial. Temporales y nulos son causales. El vector cero se trata aparte; “nulo” aquí no significa que todas sus componentes sean cero.

El cono clasifica tres vectores no nulos

Sección de un cono de luz en un espacio y un tiempo, con ejes x horizontal y t vertical de igual escala y unidades c igual uno. Las rectas azules son las direcciones nulas t igual módulo de x. Desde el origen, T termina en t dos x uno y es temporal futuro; N termina en t dos x dos y es nulo futuro; S termina en t uno x dos y es espacial. Las coordenadas y y z se fijan en cero. La parte inferior representa el pasado. El vector cero en el vértice se trata aparte. Tener componente temporal positiva no convierte un vector espacial en causal.

Una orientación temporal permite llamar futuro a una mitad del cono.

En Minkowski estándar elegimos t>0.

Tener t≠0 no basta para ser temporal: también hay que comparar el desplazamiento espacial. Con otra firma se ajustan los signos, manteniendo los conceptos.

Tres flechas en el mismo dibujo

Solo mostramos coordenadas (t,x); y=z=0.

T=(2,1)
−4+1=−3: temporal futuro.
N=(2,2)
−4+4=0: nulo futuro, sobre el borde.
S=(1,2)
−1+4=3: espacial, fuera del cono.

Resultado

El cono separa direcciones causales y espaciales.

Lo comprobamos

Un vector espacial no se llama causal futuro solo por tener t>0.

Cambiar de orientación temporal

v=(−2,1,0,0).

Intervalo
−4+1=−3: temporal.
Componente temporal
Es negativa en nuestra orientación.
Nombre
Temporal pasado. Su opuesto es temporal futuro.

Resultado

Clasificación y orientación son dos comprobaciones diferentes.

Lo comprobamos

Ningún vector nulo no cero tiene t=0 en estas coordenadas.

3. El tiempo propio se integra sobre una curva temporal

Para una curva temporal γ(λ), en unidades c=1, $\tau=\int\sqrt{-g(\dot\gamma,\dot\gamma)}\,d\lambda$ . La tangente temporal garantiza una raíz real positiva. En una curva nula el intervalo propio es cero y no sirve como parámetro de avance.

En Minkowski, si parametrizamos por t y una velocidad espacial constante v con |v|<1, dτ=√(1−v²)dt. No es una propiedad de mirar solo los extremos sin considerar la curva.

Un reloj en movimiento

x(t)=(3/5)t, de t=0 a t=5.

Velocidad
v=3/5.
Factor
√(1−9/25)=4/5.
Integrar
τ=5·4/5=4.

Resultado

El tiempo coordenado es cinco y este reloj acumula cuatro.

Lo comprobamos

Los extremos espaciales son distintos; no se comparan aquí dos rutas con los mismos extremos.

Mismos extremos, rutas distintas

Entre (t,x)=(0,0) y (5,0), un reloj queda quieto; otro sale y vuelve con velocidades ±3/5.

Quieto
Acumula cinco unidades de tiempo propio.
Ida y vuelta
Cada tramo tiene factor 4/5; el total es cuatro.
Giro
La ruta de ida y vuelta cambia de velocidad; no es una única geodésica libre.

Resultado

La recta temporal maximiza tiempo propio en este ejemplo plano.

Lo comprobamos

El giro ideal se entiende por tramos; puede aproximarse con una curva suave.

4. La conexión compara vectores de puntos distintos

La conexión de Levi–Civita es compatible con g y no tiene torsión. En coordenadas, $\Gamma^\rho_{\mu\nu}=\tfrac12g^{\rho\sigma}(\partial_\mu g_{\sigma\nu}+\partial_\nu g_{\sigma\mu}-\partial_\sigma g_{\mu\nu})$ . El índice repetido σ se suma. La matriz inversa de g aparece para recuperar el índice superior.

Los símbolos Γ no son componentes de un tensor. Pueden ser no nulos por usar coordenadas curvas en un espacio plano. La curvatura se decide con Riemann, no observando una sola Γ.

Polares en un espacio plano

Usa ds²=−dt²+dr²+r²dθ²+dz², con r>0.

Derivada
∂ᵣgθθ=2r.
Primero
$\Gamma^r_{\theta\theta}=-\tfrac12(2r)=-r$ .
Segundo
$\Gamma^\theta_{r\theta}=\Gamma^\theta_{\theta r}=\tfrac12r^{-2}(2r)=1/r$ .

Resultado

Hay coeficientes no nulos aunque seguimos en Minkowski.

Lo comprobamos

La carta polar no incluye r=0 con estos mismos coeficientes.

Evaluar los coeficientes

En r=2 para la métrica anterior.

Radial
$\Gamma^r_{\theta\theta}=-2$ .
Angular
$\Gamma^\theta_{r\theta}=1/2$ .
Interpretar
Corrigen el cambio de las direcciones coordenadas al desplazarnos.

Resultado

No son por sí solos una fuerza ni una prueba de espacio-tiempo curvo.

Lo comprobamos

Al volver a cartesianas estándar todos los Γ de Minkowski se anulan.

5. La ecuación geodésica describe una tangente que se transporta paralelamente

Con parámetro afín, $\ddot x^\rho+\Gamma^\rho_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu=0$ . Para una partícula libre temporal puede usarse tiempo propio. Una curva nula necesita otro parámetro afín. Una parametrización arbitraria puede añadir un término proporcional a la tangente.

Una geodésica recta puede tener coordenadas no lineales

Dibujo del plano espacial x y de Minkowski. La recta horizontal y igual uno se recorre con x igual s; la coordenada temporal de la curva completa es t igual dos s, por lo que es una geodésica temporal afín. Los radios desde el origen y los círculos de referencia permiten leer r igual raíz de uno más s al cuadrado y theta igual atan2 de uno y s. Aunque r y theta no son funciones lineales, sus segundas derivadas se compensan con los símbolos de Christoffel polares. El espacio-tiempo sigue siendo plano; las circunferencias son una cuadrícula de coordenadas, no curvatura física.

En cartesianas de Minkowski, Γ=0 y las soluciones afines son rectas. En coordenadas curvas sus funciones coordenadas pueden tener segundas derivadas no nulas: se compensan con los términos Γ.

Una geodésica temporal sencilla

γ(λ)=(2λ,λ,0,0).

Segunda derivada
Todas las componentes tienen derivada segunda cero.
Geodésica
Γ=0 en cartesianas: satisface la ecuación.
Tiempo propio
La tangente tiene g=−3; τ=√3·λ más una constante, con orientación positiva.

Resultado

λ es afín aunque no esté normalizado como tiempo propio.

Lo comprobamos

Cambiar λ por una función no lineal no mantiene necesariamente la forma afín.

La misma recta con coordenadas polares

Toma γ(s)=(2s,s,1,0) en cartesianas. En polares, r=√(1+s²), θ=atan2(1,s).

Derivadas
r′=s/r, r″=1/r³; θ′=−1/r² y θ″=2s/r⁴.
Ecuación radial
r″−r(θ′)²=1/r³−1/r³=0.
Angular
θ″+2r′θ′/r=2s/r⁴−2s/r⁴=0.

Resultado

La recta tiene coordenadas polares no lineales y sigue siendo geodésica.

Lo comprobamos

Su tangente completa es temporal: −2²+1²=−3.

6. Contraer curvatura pierde parte de su información

Riemann combina derivadas y productos de Γ y mide falta de conmutación de derivadas covariantes. Usamos la convención $R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}=\partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma}+\Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}-\Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}$ . Ricci y R se obtienen contrayendo índices coherentemente.

En cuatro dimensiones Ricci no contiene toda la curvatura: puede quedar la parte de Weyl.

Ric=0 no fuerza Riemann=0.

Riemann nulo implica planitud local bajo regularidad apropiada; la topología puede impedir una identificación global con todo Minkowski.

Cancelar la curvatura aparente de polares

Para la conexión anterior, calcula $R^r{}_{\theta r\theta}$ .

Derivada
$\partial_r\Gamma^r_{\theta\theta}=-1$ .
Producto
El término $-\Gamma^r_{\theta\theta}\Gamma^\theta_{r\theta}$ es −(−r)(1/r)=1; los otros de esta componente son cero.
Sumar
−1+1=0.

Resultado

Una derivada de Γ sola daría una conclusión equivocada.

Lo comprobamos

En las fórmulas completas los índices indican exactamente qué términos se suman.

Vacío con curvatura

En el exterior de Schwarzschild, $G_{N}$ =c=1, masa M>0 y r>2M.

Ricci
Ric=0 en vacío con Λ=0.
Invariante
La contracción cuadrática de Riemann es K=48M²/r⁶.
Ejemplo
M=1 y r=4 dan K=48/4096=3/256>0.

Resultado

Riemann no se anula aunque su contracción Ricci sí lo haga.

Lo comprobamos

Este ejemplo no se obtiene poniendo toda curvatura igual a la materia local.

7. La ecuación de Einstein determina cómo responde la geometría a la materia

Definimos G=Ric−(1/2)Rg.

La ecuación es $G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=(8\pi G_N/c^4)T_{\mu\nu}$ .

T es energía-momento y Λ constante cosmológica.

En unidades $G_{N}$ =c=1 queda 8πT.

En dimensión cuatro, contraer con la métrica inversa da −R+4Λ=8πT en esas unidades, donde T es la traza.

Con T tensorial cero y Λ=0 resulta R=0 y Ric=0.

Si Λ no es cero, el vacío satisface Ric=Λg; no se borra ese término.

Vacío sin constante cosmológica

T=0 como tensor y Λ=0.

Traza
−R=0, por tanto R=0.
Sustituir
Ric−(1/2)·0·g=0.
Conclusión
Ric=0; la conclusión anterior no obliga a Riemann=0.

Resultado

La ecuación de vacío no dice que toda región sea Minkowski.

Lo comprobamos

Se han usado dimensión cuatro y Λ=0.

Vacío con Λ=2

T=0 y Λ constante igual a dos.

Traza
−R+8=0: R=8.
Sustituir
Ric−4g+2g=0.
Resultado
Ric=2g.

Resultado

Vacío con constante cosmológica puede tener Ricci no nulo.

Lo comprobamos

“Vacío” se refiere aquí a T, no a suprimir todos los términos de la ecuación.

8. Bianchi da conservación local y las simetrías permiten cantidades adicionales

La identidad contraída es $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ .

Como ∇g=0 y Λ es constante, Einstein exige $\nabla^\mu T_{\mu\nu}=0$ .

Es una conservación local covariante; no produce automáticamente una energía global única en todo espacio-tiempo.

Si hay una simetría de Killing K y T es simétrico y conservado, la corriente $J^\mu=T^{\mu\nu}K_\nu$ tiene divergencia nula. Para convertirla en una cantidad conservada integral se necesitan además una región, superficies y condiciones de flujo adecuadas.

Por qué importa la simetría

Calcula $\nabla_\mu(T^{\mu\nu}K_\nu)$ , usando T simétrico.

Producto
Un término contiene $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ .
Restante
$T^{\mu\nu}\nabla_\mu K_\nu=\tfrac12T^{\mu\nu}(\nabla_\mu K_\nu+\nabla_\nu K_\mu)$ .
Killing
La suma entre paréntesis es cero; la corriente se conserva localmente.

Resultado

La condición de Killing es la pieza que faltaría para un vector arbitrario.

Lo comprobamos

Los índices escritos como fórmula fijan las contracciones.

Reconocer el límite newtoniano

Campo débil estático, velocidades pequeñas y g₀₀≈−(1+2Φ).

Conexión
A primer orden, Γⁱ₀₀≈∂ᵢΦ.
Geodésica lenta
La aceleración espacial es aproximadamente −∇Φ.
Ejemplo
Φ=x²/200 cerca de x=1 tiene |Φ|≈0,005.
Entonces x″≈−x/100; en x=1 resulta −0,01.

Resultado

Las ecuaciones familiares aparecen bajo aproximaciones declaradas.

Lo comprobamos

No aplicamos este límite débil junto a un horizonte sin comprobar sus hipótesis.

9. Una coordenada singular no demuestra una geometría singular

La carta usual de Schwarzschild tiene un coeficiente que diverge en r=2M. Otra carta, con coordenada avanzada v, escribe la parte radial como $-(1-2M/r)\,dv^2+2\,dv\,dr$ .

Es regular en r=2M para M>0.

Un horizonte es una noción causal global, no solo un denominador que se anula.

En r=0 el invariante K=48M²/r⁶ diverge, indicando un obstáculo geométrico diferente. Las singularidades se estudian también con incompletitud geodésica. Para resolver la evolución completa de Einstein hacen falta datos iniciales que cumplan restricciones y una formulación o gauge adecuado.

Una métrica puede tener diagonal cero y ser invertible

M=1, r=2, coordenadas avanzadas.

Bloque radial
$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ .
Determinante
Vale menos uno: el bloque no es degenerado.
Curvatura
K=48/2⁶=3/4, finita en ese horizonte.

Resultado

La carta nueva elimina el fallo de la carta anterior en el horizonte.

Lo comprobamos

Que este invariante sea finito solo no probaría toda regularidad; aquí se muestra además una métrica regular.

Acercarse al centro

M=1 y r>0.

Dependencia
K=48/r⁶.
Reducir radio a la mitad
K se multiplica por 2⁶=64.
Límite
Cuando r→0, K→∞; no lo elimina un simple cambio regular de coordenadas.

Resultado

Un invariante distingue este problema del fallo de una carta en r=2.

Lo comprobamos

La definición general de singularidad requiere más que mirar una componente.

Ahora lo resolvemos de principio a fin.

EJEMPLO RESUELTO 1

Un vector de luz

Clasifica v=(1,1,0,0) en Minkowski.

Convención
Minkowski, firma (−,+,+,+), c=1.
Vector
v=(1,1,0,0) es distinto de cero.
Temporal
Su contribución cuadrática es −1.
Espacial
La contribución es 1.
Sumar
g(v,v)=0, por tanto es nulo.
Orientación
Como t=1>0, es nulo futuro en la orientación escogida.

Resultado

Es un vector nulo.

Lo comprobamos

Su componente temporal positiva lo orienta hacia el futuro con la convención usual.

EJEMPLO RESUELTO 2

Un vector temporal

Clasifica v=(2,1,0,0).

Convención
Usamos la misma firma y unidades.
Vector
v=(2,1,0,0).
Temporal
−2²=−4.
Espacial
1²=1.
Sumar
g(v,v)=−3<0: temporal.
Comprobar
t>0 lo orienta al futuro; mirar solo t≠0 no habría bastado.

Resultado

Es temporal.

Lo comprobamos

No basta mirar solo que su coordenada temporal sea no nula.

Los símbolos que hemos usado

g: Métrica lorentziana: forma bilineal no degenerada con una dirección negativa en la firma elegida.
Temporal / nulo / espacial: Clasificación de vectores no nulos por g(v, v)<0,=0,>0.
Tiempo propio: Integral física a lo largo de una curva temporal, con unidades fijadas.
∇: Conexión de Levi–Civita, sin torsión y compatible con g.
Ric / R: Tensor de Ricci / curvatura escalar, contracciones de Riemann.
G=Ric−Rg/2: Tensor de Einstein.
T: Tensor de energía-momento del modelo material.

Ahora te toca a ti.

Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.

Practicar este tema →

Para ampliar

David Tong: General Relativity

1. La métrica lorentziana tiene un signo temporal diferente

Calcular antes de clasificar

Temporal

Espacial

Sumar

Reponer unidades

Dimensiones

Convertir

Intervalo

2. El signo clasifica y la orientación distingue futuro de pasado

Tres flechas en el mismo dibujo

T=(2,1)

N=(2,2)

S=(1,2)

Cambiar de orientación temporal

Intervalo

Componente temporal

Nombre

3. El tiempo propio se integra sobre una curva temporal

Un reloj en movimiento

Velocidad

Factor

Integrar

Mismos extremos, rutas distintas

Quieto

Ida y vuelta

Giro

4. La conexión compara vectores de puntos distintos

Polares en un espacio plano

Derivada

Primero

Segundo

Evaluar los coeficientes

Radial

Angular

Interpretar

5. La ecuación geodésica describe una tangente que se transporta paralelamente

Una geodésica temporal sencilla

Segunda derivada

Geodésica

Tiempo propio

La misma recta con coordenadas polares

Derivadas

Ecuación radial

Angular

6. Contraer curvatura pierde parte de su información

Cancelar la curvatura aparente de polares

Derivada

Producto

Sumar

Vacío con curvatura

Ricci

Invariante

Ejemplo

7. La ecuación de Einstein determina cómo responde la geometría a la materia

Vacío sin constante cosmológica

Traza

Sustituir

Conclusión

Vacío con Λ=2

Traza

Sustituir

Resultado

8. Bianchi da conservación local y las simetrías permiten cantidades adicionales

Por qué importa la simetría

Producto

Restante

Killing

Reconocer el límite newtoniano

Conexión

Geodésica lenta

Ejemplo

9. Una coordenada singular no demuestra una geometría singular

Una métrica puede tener diagonal cero y ser invertible

Bloque radial

Determinante

Curvatura

Acercarse al centro

Dependencia

Reducir radio a la mitad