Las ecuaciones diofánticas piden soluciones en un conjunto concreto, como enteros o racionales. Una recta real pequeña ya contiene infinitos racionales, así que buscar de menor a mayor valor real no organiza bien el problema. La altura medirá numeradores y denominadores de forma independiente de la escritura. Después la llevaremos a puntos proyectivos y veremos qué permite afirmar una búsqueda finita.
Si necesitas repasar:
1. Primero se declara el dominio y después cómo se ordenará la búsqueda
Una ecuación polinómica puede tener respuestas distintas si se permiten reales, racionales o enteros. La geometría estudia la figura definida por la ecuación; la aritmética decide qué coordenadas se admiten. Ambas condiciones intervienen.
Para explorar racionales hay que controlar numeradores y denominadores, no solo su posición en la recta. La altura que definiremos convierte esa complejidad en una cota discreta, con finitas posibilidades en cada nivel.
Un intervalo acotado todavía contiene infinitos candidatos racionales
En [0,1], considerar 1/n para n=1,2,3,… .
Pertenencia
Todos son racionales del intervalo.
Distintos
Si 1/n=1/m con denominadores positivos, multiplicar por nm da m=n.Problema de búsqueda
No basta limitar el tamaño real para tener una lista finita. Aquí el numerador queda fijo y los denominadores crecen sin cota.
La complejidad de la fracción no se ve solo en el valor decimal.
El intervalo no se vuelve finito por tener longitud uno.
Una solución real puede faltar en el dominio racional
Ecuación x²=2.
Reales
Las dos raíces reales son √2 y −√2.
Racionales
Si x=a/b reducido la satisficiera, a²=2b² obligaría a que a fuera par y después también b.
Contradicción
No serían coprimos. No hay raíz racional, aunque sí haya raíces reales y, como vimos, raíces en ciertas completaciones locales.
La ecuación y el dominio se comprueban juntos.
Existir en un cuerpo mayor no produce automáticamente una coordenada racional.
2. La altura racional se calcula después de reducir y fijar el signo del denominador
y h(x)=log H(x).La representación normalizada es única y por eso la altura depende del racional.
Cambiar el signo del numerador no cambia la altura. Una fracción equivalente con numerador y denominador multiplicados no se utiliza sin reducir: inflaría artificialmente la medida.
Reducir antes de tomar el máximo
Calcular H(30/42).
Común divisor
gcd(30,42)=6, de modo que la fracción es 5/7.Normalización
El denominador es positivo y cinco y siete son coprimos.
Máximo
H=max(5,7)=7.Tomar cuarenta y dos mediría la escritura original, no el racional.
La equivalencia de fracciones debe conservar la medida.
El dibujo ofrece otro ejemplo, dieciocho sobre veinticuatro, que sigue la misma regla.
El signo y el cero se tratan con la definición, no con un atajo
Comparar −7/5 y cero.
Negativo
−7/5 ya está reducido y H=max(7,5)=7.Cero
La forma normalizada es 0/1 y H(0)=1, no cero.Logaritmo
h(−7/5)=log7 y h(0)=0.Siempre H≥1 y h≥0 para racionales.
La altura no es una norma vectorial: ya H(0)≠0 lo impide.
La altura logarítmica puede anularse sin que el racional sea cero; por ejemplo h(1)=0.
3. Las desigualdades de altura conservan constantes y posibles cancelaciones
Reducir solo puede bajar el máximo.
Al tomar logaritmos, las cotas de productos se vuelven aditivas y la suma conserva el término log dos.
Un producto puede cancelar casi toda la complejidad
x=2/3 e y=3/2.
Alturas iniciales
H(x)=3 y H(y)=3.Producto
xy=1, de altura uno.La desigualdad da 1≤9 y es estricta.Suma y constante
La cota de suma necesita su factor dos: para x=y=1, H(1+1)=2=2H(1)H(1). No se elimina esa constante sin otro argumento.
Una cota no obliga a igualdad en cada ejemplo.
La simplificación del producto explica la disminución, no un cambio de definición.
Potencia e inversión conservan una regla exacta
x=−2/3.
Potencia
x³=−8/27 sigue reducido y tiene altura 27, igual a 3³.Inversa
1/x=−3/2 tiene altura tres, la misma que x.Logaritmos
h(x³)=3log3 y h(1/x)=log3.La regla se ha usado con exponente positivo y una entrada no nula para invertir.
Las hipótesis pequeñas evitan operaciones no definidas.
No se introduce 1/0 ni se decide una convención para 0⁰ dentro de estas afirmaciones.
4. Un punto proyectivo conserva proporciones y se normaliza con todos sus componentes
Un punto de Pⁿ(Q) es una tupla racional no toda cero, considerada igual tras multiplicar todas sus coordenadas por un mismo racional no nulo. Se quitan denominadores y luego el máximo común divisor entero. La tupla primitiva es única salvo signo común.
La altura es el máximo de los valores absolutos en esa tupla primitiva. El racional a/b se ve como [a: b] en P¹. Cambiar una sola coordenada no es un reescalado permitido de todo el punto.
Primero quitar denominadores, después revisar el divisor común
P=[1/2:1/3:1/6].
Denominador común
Multiplicar todas las coordenadas por seis da [3:2:1].
Primitividad
gcd(3,2,1)=1, así que no hay otro divisor común que quitar.
Altura
H(P)=3.No se toma el máximo de tres denominadores elegidos por separado.
La escala se aplica al punto completo.
La tupla [0:0:0] no es un punto proyectivo y queda excluida desde la definición.
El signo común cambia la escritura, no el punto
P=[10:−15:25].
Reducir
Dividir por cinco da [2:−3:5], con componentes primitivas.
Medir
El máximo absoluto es cinco.
Otro representante
[−2:3:−5] representa el mismo punto y da el mismo máximo. Quitar solo el signo de una coordenada no sería esa misma operación.
El representante primitivo resuelve la redundancia de escala.
La altura del resuelto final se calcula con la misma regla sobre otra tupla.
5. Las normas locales explican por qué un reescalado no cambia la altura proyectiva
Para coordenadas racionales no todas cero, también se tiene ![H([a_0:\cdots: a_n])=\prod_v\max_i|a_i|_v](../assets/builds/567cd5e2327763420eb0c3cfba1f44a465c95bc5f36d0596a573c2c074c449e1/math-87ffa88eeceb.svg)
, con las normas de Q normalizadas y el lugar real incluido. En una tupla entera primitiva cada máximo p-ádico es uno.
Reescalar por λ multiplica ese producto por el producto de |λ| en todos los lugares, que es uno. Esta es la fórmula del producto. Para otros cuerpos de números se necesitan pesos y una normalización por el grado; no se copia la fórmula racional sin ellos.
Una tupla no primitiva muestra la compensación
[6:−9:3].
Lugar real
El máximo absoluto real es nueve.
Lugar tres
Las valoraciones son uno, dos y uno. Las normas son 1/3,1/9,1/3 y el máximo es 1/3.
Otros lugares
Ningún otro primo divide todas las coordenadas; cada máximo es uno.
El producto da 9·(1/3)=3, igual al de [2:−3:1].
Los factores locales quitan el divisor común que el máximo real no detecta.
Se toma máximo de normas, que corresponde a mínimo de valoraciones, no al máximo de ellas.
Una escala racional puede tener factores locales mayores y menores que uno
Multiplicar todas las coordenadas por λ=2/5.
Real
El máximo real se multiplica por 2/5.
Lugares finitos
En dos el factor es 1/2 y en cinco es cinco; en los otros es uno.
Total
(2/5)(1/2)·5=1.La altura completa no cambia aunque cada factor individual sí cambie.
La independencia de coordenadas tiene una comprobación aritmética exacta.
El argumento requiere λ≠0; multiplicar por cero destruiría el punto.
6. Una cota de altura deja finitos candidatos, no necesariamente todas las soluciones
Hay finitas parejas enteras y se conservan las coprimas. En espacio proyectivo ocurre lo mismo con cada coordenada primitiva.
Northcott extiende esa finitud a puntos algebraicos de altura absoluta y grado sobre Q acotados. El grado importa. Una búsqueda hasta B es exhaustiva dentro de la cota; para afirmar que encontró todas las soluciones hace falta justificar que ninguna tenga altura mayor.
Contar exactamente una cuadrícula pequeña
Enumerar los racionales con H≤2.
Denominador uno
Los numeradores −2,−1,0,1,2 producen cinco racionales.
Denominador dos
Solo −1 y uno son coprimos con dos en ese intervalo. Añaden −1/2 y 1/2.
Resultado
Hay siete: −2,−1,−1/2,0,1/2,1,2. Las fracciones reducibles no se cuentan otra vez.
Una cota transforma la búsqueda en una lista comprobable.
El hecho de acabar esa lista no acota por sí solo las soluciones de una ecuación cualquiera.
La altura sola no da finitud de todos los algebraicos
Considerar raíces de unidad de órdenes primos p.
Altura
Su altura absoluta es uno: en cada lugar son unidades de módulo apropiado y en los lugares complejos están en el círculo unitario.
Grado
Una raíz primitiva de orden p tiene grado p−1 sobre Q. Esos grados crecen sin cota.
Northcott
Hay infinitas raíces de unidad, pero no contradicen el teorema: falta una cota común de grado.
Las dos cotas del teorema tienen funciones distintas.
No se usa la definición racional de fracción reducida como si todas esas raíces fueran racionales.
7. Cercanía real, altura y longitud de una escritura son medidas diferentes
La distancia real compara valores; la altura controla complejidad aritmética de una representación normalizada. Un racional puede acercarse a otro mientras sus denominadores crecen indefinidamente.
Tampoco la altura es el número literal de dígitos que alguien escribió. Una fracción equivalente puede presentar miles de cifras innecesarias. El logaritmo de la altura se relaciona con dígitos necesarios después de normalizar, con constantes según la base elegida.
Acercarse a uno puede aumentar indefinidamente la altura
x_N=(N+1)/N con N positivo.
Distancia
|x_N−1|=1/N, que tiende a cero.Reducida
Dos enteros consecutivos son coprimos porque su diferencia es uno.
Altura
H(x_N)=N+1 crece sin cota, mientras H(1)=1.Con N=1000 obtenemos 1001/1000, muy cercano y de altura 1001.
Una bola real pequeña no es una cota de altura.
La afirmación usa N entero positivo para tener denominador permitido.
Una presentación larga puede ocultar una altura pequeña
Multiplicar numerador y denominador de 3/4 por 10¹⁰.
Escritura
Se obtiene 30000000000/40000000000.
Normalización
El factor común 10¹⁰ se cancela y vuelve a 3/4.
Medida
La altura sigue siendo cuatro. No creció por haber escrito más cifras.
Se mide el número, no la redundancia de su presentación.
La necesidad de reducir no autoriza cancelar sumandos: aquí se cancela un factor completo común.
8. Cambiar la inmersión puede cambiar el crecimiento de la altura
Una variedad proyectiva hereda una altura de sus coordenadas. Para comparar funciones se declaran los datos geométricos, como el fibrado en rectas. Alturas del mismo dato difieren por una función acotada en la escala logarítmica; datos distintos pueden cambiar el crecimiento principal.
No basta decir que dos inmersiones representan la misma variedad para afirmar que sus alturas son iguales o difieren por una constante. Un ejemplo de grado dos ya permite ver el efecto.
Una inmersión cuadrática duplica la altura logarítmica
Veronese [a: b]↦[a²: ab: b²], con a, b enteros coprimos.
Primitividad
Ningún primo divide simultáneamente a² y b², así que la nueva tupla es primitiva.
Máximo
max(|a²|,|ab|,|b²|)=max(|a|,|b|)².Logaritmo
H nuevo=H anterior² y h nuevo=2h anterior.La diferencia logarítmica no está acotada cuando H crece.
El cambio corresponde a otro grado de dato geométrico.
No contradice la comparación acotada de alturas asociadas al mismo fibrado.
Un término acotado y un cambio de escala no son lo mismo
Sobre los puntos racionales 2ⁿ de P¹, h(2ⁿ)=nlog2.
Error constante
Cambiar h por h+1 produce diferencia uno, uniforme en n.
Escala
Cambiar h por 2h produce diferencia nlog2, sin cota uniforme.
Revisión
Una afirmación h′=h+O(1) permite lo primero, no lo segundo.Antes de usarla se comprueba que se comparan los mismos datos geométricos.
O(1) significa un límite común del error, no que cada valor individual sea finito.
El ejemplo explica la escala de la comparación; no elige por sí solo una inmersión geométrica.
9. Una altura canónica se obtiene renormalizando un crecimiento conocido
Los límites canónicos eliminan errores acotados cuando la dinámica tiene un crecimiento regular. La escala de renormalización depende del mapa. Elevar un racional al cuadrado y duplicar un punto elíptico no tienen el mismo factor de crecimiento.
Para una curva elíptica sobre Q y la altura asociada al divisor del origen usamos la normalización ![\widehat h(P)=\tfrac12\lim_{n\to\infty}4^{-n}h_x([2^n]P)](../assets/builds/567cd5e2327763420eb0c3cfba1f44a465c95bc5f36d0596a573c2c074c449e1/math-f0065b249cd0.svg)
, con h_x(O)=0 y h_x(Q)=h(x(Q)) fuera del origen. Existencia del límite, positividad y ley cuadrática son teoremas; otras convenciones multiplican esta altura por dos.
Un ejemplo de dinámica donde el límite se calcula exactamente
f(x)=x² en P¹ y x=2.
Iterar
f aplicado n veces da
.Altura
Su altura logarítmica es 2ⁿlog2.
Renormalizar
Multiplicar por 2⁻ⁿ da log2 para todo n. El límite canónico de este ejemplo dinámico coincide con h(2).
El factor dos viene del grado de este mapa.
No se sustituye por él el factor cuatro de la duplicación elíptica.
La duplicación elíptica tiene una ley de crecimiento cuadrática
Usar la definición normalizada anterior y los teoremas de altura canónica.
Reindexar
Sustituir 2P desplaza n a n+1 en el límite.
El factor 4⁻ⁿ produce ĥ(2P)=4ĥ(P).Ley completa
El teorema extiende a ĥ(mP)=m²ĥ(P).Si P es torsión, algún mP=O y la igualdad obliga a ĥ(P)=0.Otra dirección
Sobre un cuerpo de números, el teorema adicional afirma que altura canónica cero implica torsión. Esa dirección no se deduce solo de escribir la ley de escala.
La altura canónica no se calcula tomando sin más el máximo de dos coordenadas cualesquiera.
Su normalización y el punto origen se han especificado para que el límite tenga un sentido preciso.
10. Una parametrización racional puede producir infinitos puntos con altura creciente
En el círculo x²+y²=1, la recta y=t(x+1) pasa por el punto racional (−1,0). Sustituir permite obtener su otro punto de corte en función de t. Si t es racional, esas coordenadas también lo son.
![[b^2-a^2:2ab: a^2+b^2]](../assets/builds/567cd5e2327763420eb0c3cfba1f44a465c95bc5f36d0596a573c2c074c449e1/math-92e008520f7f.svg)
.Excepto el punto inicial que corresponde al parámetro infinito, se recupera t=y/(x+1). Esto explica por qué hay una familia infinita, sin afirmar que una cota fija contenga infinitos puntos.
Una pendiente de un medio da el triángulo racional tres cuatro cinco
t=1/2, es decir a=1, b=2.
Coordenadas
b²−a²=3, 2ab=4 y a²+b²=5.Comprobar
El punto afín es (3/5,4/5) y 9/25+16/25=1.Altura
[3:4:5] ya es primitivo y tiene altura cinco. La construcción ofrece un punto y permite comprobarlo en la ecuación.
Una recta racional transforma una figura continua en datos aritméticos concretos.
La altura no es la distancia real del punto al origen, que en este círculo siempre vale uno.
La reducción del punto puede introducir un factor dos
a, b coprimos; mirar la tupla [b²−a²:2ab: a²+b²].
Divisor común
Ningún primo impar puede dividir las tres componentes: dividiría a y b. El divisor común solo puede ser uno o dos.
Paridad
Si a, b son ambos impares es dos; si uno es par y el otro impar es uno. El máximo antes de reducir es a²+b².
Crecimiento
La altura resulta (a²+b²) dividido por ese divisor. Crece de orden comparable a H(t)², de modo que acotar la altura del punto también restringe los parámetros.
La normalización sigue siendo necesaria después de una fórmula geométrica.
La comparación indica constantes explícitas posibles; no se anuncia una igualdad H punto=H parámetro en todos los casos.
11. Los teoremas de puntos racionales no sustituyen una cota efectiva que no se tiene
Mordell–Weil afirma que el grupo de una curva elíptica sobre un cuerpo de números es finitamente generado. Puede ser infinito si su rango es positivo. Para curvas suaves proyectivas geométricamente conexas de género al menos dos, Faltings afirma finitud de sus puntos racionales sobre ese cuerpo.
Northcott no demuestra esa finitud sin una cota de altura adicional. Faltings, por sí solo, tampoco entrega un procedimiento efectivo general que enumere todos los puntos. La distinción entre existencia, finitud, cota y algoritmo se mantiene al interpretar una búsqueda.
Un generador puede producir infinitos elementos
Si una curva elíptica tiene un punto P de orden infinito.
Lista
Considerar O, P,2P,3P,… .
Distintos
Si mP=nP con m>n, entonces (m−n)P=O, contra el orden infinito.Conclusión
El subgrupo generado por P tiene un generador y es infinito. Por eso finitamente generado no significa finito.
La hipótesis de orden infinito es un dato del ejemplo, no se deduce de que P sea distinto de O.
Un punto no nulo de torsión sí puede generar un grupo finito.
Acabar una búsqueda acotada no demuestra que se encontraron todos los puntos
Se revisan todas las tuplas primitivas con altura como máximo cien.
Garantía obtenida
Si la enumeración y la prueba de ecuaciones son correctas, se encontraron todos los puntos dentro de esa cota.
Lo pendiente
Podría haber un punto de altura ciento uno o mucho mayor. La finitud total no proporciona el valor de una cota utilizable.
Para cerrar
Hace falta una cota demostrada para esa ecuación u otro argumento de exhaustividad. No se presenta una lista de ordenador como conclusión universal sin ese paso.
El alcance de cada resultado queda explícito.
Los ejercicios finales calculan alturas y finitud bajo una cota; no prometen resolver automáticamente toda ecuación diofántica.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Reducir antes de medir
Calcula H(18/24).
Fracción
Se pide H(18/24), así que primero se busca la forma reducida.
Divisor común
gcd(18,24)=6.Reducir
18/24=3/4, con denominador positivo y componentes coprimas.Máximo
H=max(3,4)=4.Comprobar
Multiplicar ambos componentes por seis recupera la escritura inicial sin cambiar el racional.
Alcance
Usar veinticuatro inflaría la altura por una representación redundante; la definición exige normalizar.
H(18/24)=4.
Usar 24 sin reducir cambiaría artificialmente la altura.
EJEMPLO RESUELTO 2
Altura proyectiva
Calcula H([6:−9:3]).
Punto
[6:−9:3] no es la tupla cero y representa un punto proyectivo.
Común divisor
gcd(6,9,3)=3.Primitivo
Dividir todas las coordenadas da [2:−3:1].
Altura
El máximo absoluto es tres.
Signo común
[−2:3:−1] representa el mismo punto y vuelve a dar tres.
Verificación
El cálculo local también produce nueve por un tercio igual tres. No se toma el máximo nueve antes de quitar la escala común.
La altura es 3.
Las coordenadas [−2:3:−1] producen el mismo máximo.
Los símbolos que hemos usado
- H(a/b)
- Altura multiplicativa de un racional reducido con b>0: max(|a|,b).
- h(x)
- Altura logarítmica log H(x), con logaritmo natural.
- [a₀:⋯:aₙ]
- Punto proyectivo: coordenadas no todas nulas, consideradas hasta un factor común no nulo.
- Coordenadas primitivas
- Coordenadas enteras cuyo máximo común divisor absoluto es 1.
- B
- Cota real positiva de altura en una búsqueda finita.
- K
- Cuerpo de números, es decir, extensión finita de Q.
- Pⁿ(Q)
- Espacio proyectivo racional: tuplas de n+1 racionales no todos cero, consideradas hasta un factor común no nulo.
- ĥ
- Altura canónica asociada a datos geométricos adicionales, como la estructura de una curva elíptica.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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