Encontrar una raíz significa buscar un número r que haga f(r)=0. Una gráfica orienta, pero necesitamos un procedimiento y un control del error. Empezaremos encerrando una raíz entre dos extremos; después usaremos la tangente para acercarnos más deprisa. Veremos también cuándo esas ideas fallan y cómo se trasladan a varias ecuaciones.
Si necesitas repasar:
1. Antes de iterar, comprobamos qué raíz puede haber en el intervalo
Si f es continua en [a, b] y f(a), f(b) tienen signos estrictamente opuestos, el teorema del valor intermedio garantiza al menos una raíz interior. La continuidad es la que impide saltar de negativo a positivo sin pasar por cero. Si un extremo ya da cero, hemos encontrado una raíz sin necesidad de dividir.
Existencia no equivale a unicidad. Para asegurar una sola raíz puede servir que la función sea estrictamente monótona, por ejemplo porque f′ es siempre positiva en el intervalo. Tampoco es obligatorio que cambie el signo para que exista una raíz: una curva puede tocar el eje y volver al mismo lado.
Encerrar una raíz y justificar que es única
f(x)=x²−3 en [1,2].
Signos
f(1)=−2 y f(2)=1.Continuidad
Un polinomio es continuo en todo el intervalo; existe una raíz entre uno y dos.
Unicidad
f′(x)=2x≥2>0 allí, así f es estrictamente creciente y no puede cortar dos veces.
Hay exactamente una raíz en [1,2], la positiva √3.
No afirmamos que el polinomio solo tenga una raíz en toda R: también tiene −√3.
Un cambio de signo puede encerrar varias raíces
f(x)=x³−x en [−2,2].
Extremos
f(−2)=−6 y f(2)=6; la continuidad asegura alguna raíz.Factorizar
x³−x=x(x−1)(x+1).Contar
−1, 0 y 1 son tres raíces distintas dentro del intervalo.
Los signos opuestos no dan unicidad.
La búsqueda de una raíz no enumera automáticamente todas las demás.
Una raíz puede no cambiar el signo
f(x)=x² en [−1,1].
Extremos
f(−1)=f(1)=1: no hay signos opuestos.Interior
f(0)=0.Dibujo mental
La parábola toca el eje en su mínimo y permanece no negativa a ambos lados.
El criterio de signos es suficiente, pero no necesario para que exista una raíz.
No rechazaríamos una raíz conocida solo porque los extremos tengan el mismo signo.
2. Bisección conserva el intervalo que todavía encierra la raíz
Partimos de un intervalo continuo con signos fiables opuestos.
Si vale cero, paramos. Si no, conservamos la mitad cuyos extremos tienen signos opuestos. No se elige la mitad que parezca más bonita en el dibujo: se usan los signos.
El nuevo punto medio de Iₙ tiene error como máximo L₀/2ⁿ⁺¹ respecto de la raíz encerrada. Ese nuevo centro puede ser distinto del punto que acabamos de evaluar para cortar. Indicaremos siempre este convenio para no contar una división de más o de menos.
Hacer dos cortes, registrando cada signo
Buscamos la raíz de x²−3 en [1,2].
Primer corte
m₀=1,5; f(m₀)=2,25−3=−0,75.Conservamos I₁=[1,5;2].Segundo corte
m₁=1,75; f(m₁)=3,0625−3=1/16>0.Conservamos I₂=[1,5;1,75].Centro de la nueva caja
I₂ tiene longitud 1/4; su centro es 1,625=13/8 y su error es como máximo 1/8.
La raíz queda en [1,5;1,75]; si informamos su centro, la aproximación es 13/8.
El último corte fue 1,75; el centro del intervalo resultante es 1,625.
Elegir cuántas divisiones aseguran una tolerancia
Intervalo inicial de longitud uno; queremos error del nuevo centro ≤0,01.
Cota
Después de n divisiones pedimos 1/2ⁿ⁺¹≤0,01.Comparar enteros
Con n=5 la cota es 1/64≈0,015625; con n=6 es 1/128≈0,0078125.Elegir
Seis divisiones bastan y cinco no bastan para asegurar la tolerancia usando solo esta cota.
n=6 garantiza el error solicitado del centro de I₆.
En general se puede tomar max(0; techo(log₂(L₀/(2ε)))) para ε>0, con el convenio declarado.
3. Los signos solo sirven si hay continuidad y su evaluación es fiable
Un polo o un salto puede imitar un cambio de signo sin contener ninguna raíz. Antes de aplicar bisección comprobamos que f está definida y es continua en todo el intervalo. La gráfica, si omite la discontinuidad, puede engañar.
Además, el signo calculado puede ser incierto por redondeo o por errores de evaluación. Si conocemos una cota absoluta de error, encerramos el valor verdadero en un intervalo. Si ese intervalo contiene cero, no tenemos certificado el signo: debemos evaluar con mayor control o conservar la incertidumbre.
Aumentar cifras sin una cota no certifica por sí solo el signo.
Signos opuestos alrededor de un polo no prueban una raíz
f(x)=1/x en [−1,1].
Extremos
f(−1)=−1 y f(1)=1.Revisar dominio
La función no está definida en cero, que está dentro del intervalo.
Ecuación
1/x nunca vale cero en su dominio. El cambio de signo no pasa por una raíz.
No se cumplen las hipótesis de bisección.
Lo mismo puede ocurrir con una función que salta de −1 a 1 sin tomar cero.
Convertir una evaluación con error en una decisión de signo
Una evaluación da −0,0001 con error absoluto ≤0,0003; otra da −0,004 con error ≤0,001.
Primer intervalo
El valor verdadero está entre −0,0004 y 0,0002: podría ser negativo, cero o positivo.
Segundo intervalo
El valor verdadero está entre −0,005 y −0,003, completamente bajo cero.
Decidir
Solo el segundo signo queda certificado por estas cotas.
Una cifra negativa en pantalla no siempre permite descartar media caja.
Las cotas deben controlar la evaluación completa de f en ese punto.
4. Newton encuentra el cero de la tangente y vuelve a mirar la función
En xₖ conocemos un punto (xₖ, f(xₖ)) y la pendiente f′(xₖ).
Es el cero de la recta, no necesariamente el de la curva.
Cada paso debe recalcular la función y la derivada en el nuevo punto. La derivada se evalúa en el iterado conocido, no en la raíz desconocida.
Si la derivada es cero y la función no, esta fórmula no define el siguiente paso.
Construir la primera tangente sin memorizar una receta
f(x)=x²−3; x₀=2.
Punto y pendiente
f(2)=1 y f′(2)=4.Recta
y=1+4(x−2).Su cero cumple 4(x−2)=−1, así x₁=7/4.Volver a la curva
f(7/4)=49/16−3=1/16, todavía distinto de cero.Segundo paso
x₂=7/4−(1/16)/(7/2)=7/4−1/56=97/56; el residuo vale 1/3136.
La tangente produce un candidato; la nueva evaluación comprueba cuánto falta.
No se reutiliza la pendiente cuatro en el segundo paso.
Si la función es una recta, la tangente coincide con ella
f(x)=3x−12; x₀=−1.
Datos
f(−1)=−15 y f′(−1)=3.Actualizar
x₁=−1−(−15)/3=4.Comprobar
f(4)=12−12=0: terminamos en un paso exacto.
Newton resuelve una función afín con pendiente no nula en un paso.
Esta propiedad no se traslada automáticamente a curvas generales.
5. La rapidez cuadrática es local; también hay ciclos y raíces múltiples
Sea r una raíz simple de una función C², es decir f(r)=0 y f′(r)≠0. Cerca de r, f′ permanece alejada de cero.
Escoger el punto inicial suficientemente cerca permite que las iteraciones permanezcan allí y converjan.
Cuadrática significa que el nuevo error está controlado por el cuadrado del anterior en esa zona, no que cualquier punto inicial funcione. Una raíz múltiple puede reducir el orden. Un ciclo o una salida del dominio puede impedir converger. La mera existencia de derivadas en todos los iterados no garantiza éxito global.
Ver el cuadrado del error en una identidad exacta
f(x)=x²−3; r=√3; x>0.
Actualizar
N(x)=(x+3/x)/2.Restar r
Como 3=r², N(x)−r=(x²−2rx+r²)/(2x).Factorizar
El numerador es (x−r)². Por tanto e_nuevo=e²/(2x), pequeño de segundo orden cerca de r.
La rapidez surge de cancelar el término lineal del error.
El denominador 2x debe mantenerse alejado de cero para obtener una cota útil.
Un ciclo de dos puntos pese a existir una raíz real
f(x)=x³−2x+2; x₀=0.
Primer paso
f(0)=2 y f′(0)=−2; Newton da x₁=1.Segundo paso
f(1)=1 y f′(1)=1; da x₂=0.Repetir y contrastar
La sucesión alterna 0,1,0,1… Sin embargo f(−2)=−2 y f(−1)=3, así existe una raíz en [−2,−1].
Existir una raíz no obliga a que Newton la encuentre desde el punto elegido.
Ninguno de los dos iterados tiene derivada nula; esa condición por sí sola no basta.
Una raíz doble produce reducción lineal del error
f(x)=(x−1)²; empezamos en x₀=3.
Derivar
f′(x)=2(x−1); para x≠1, Newton da x−(x−1)/2=(x+1)/2.Iterar
3→2→1,5→1,25→…Error
x_nuevo−1=(x−1)/2: cada paso divide el error por dos.
La raíz múltiple pierde la convergencia cuadrática de la raíz simple.
Si llegamos exactamente a uno, f ya vale cero y paramos antes de la división 0/0.
6. En varias variables la tangente se sustituye por un sistema lineal para el incremento
La matriz jacobiana J_F(x) contiene las derivadas parciales.
Las coordenadas están acopladas: no dividimos cada ecuación por una derivada aislada.
Se resuelve ese sistema lineal; no hace falta formar explícitamente la inversa de la matriz. Para una raíz con jacobiano invertible y regularidad suficiente se obtiene una teoría local análoga. Que el jacobiano sea invertible en un paso no garantiza convergencia desde cualquier punto ni buen condicionamiento del sistema de incrementos.
Resolver dos incrementos que se influyen mutuamente
F(x, y)=(x²+y−4; x+y²−4), punto inicial (1;1).
Evaluar
F(1,1)=(−2;−2) y J=[[2,1],[1,2]].Sistema para (s, t)
2s+t=2; s+2t=2.Restar da s=t; sustituir da 3s=2.Actualizar
s=t=2/3; el nuevo punto es (5/3;5/3).Comprobar
Cada componente nueva vale 25/9+5/3−4=4/9, menor en magnitud que dos, pero todavía no cero.
Un paso produce (5/3;5/3), no la solución exacta.
La suma x+y² obliga a que la segunda ecuación participe al determinar ambos incrementos.
Un sistema afín se resuelve en un paso con jacobiano invertible
F(x, y)=(x+y−3; x−y−1), punto inicial (0;0).
Evaluar
F(0,0)=(−3;−1) y J=[[1,1],[1,−1]].Incrementos
s+t=3 y s−t=1; sumando, 2s=4, así s=2 y t=1.Actualizar y revisar
El nuevo punto (2;1) hace 2+1−3=0 y 2−1−1=0.
La aproximación lineal es aquí exacta porque F es afín.
No hemos dividido tres por uno y uno por menos uno de forma independiente.
7. Un residuo o un paso pequeño necesita una escala y un control de error
El residuo es |f(x)|; el error es |x−r|. No son lo mismo. Si conocemos que x y la raíz r están en un intervalo donde |f′|≥m>0, el teorema del valor medio da |x−r|≤|f(x)|/m. La hipótesis sobre todo el intervalo que los conecta es esencial.
Un criterio práctico combina residuo, tamaño del paso, escalas absolutas y relativas, máximo de iteraciones y detección de estancamiento. Multiplicar la función por una constante cambia el residuo sin cambiar sus raíces. Paso pequeño puede indicar estancamiento, no convergencia. Informamos si tenemos un certificado de error o solo un criterio práctico de parada.
Una función de escala pequeña da un residuo engañoso
f(x)=10⁻⁸(x−1000), aproximación x=0.
Residuo
f(0)=−10⁻⁵; su magnitud es 0,00001.Error verdadero
La raíz es r=1000, así |x−r|=1000.Convertir con derivada
|f′|=10⁻⁸: la cota |f(x)|/m da 10⁻⁵/10⁻⁸=1000, exactamente el error.
Pequeño residuo absoluto no equivale a proximidad a la raíz.
La escala de f y su derivada explican por qué el residuo parecía pequeño.
Certificar un iterado con una cota de pendiente
f(x)=x²−3; aproximación a=7/4 y raíz r=√3, ambas en [1,2].
Residuo
f(a)=1/16.Pendiente mínima
f′(x)=2x≥2 en todo [1,2]; tomamos m=2.Error
|a−r|≤(1/16)/2=1/32.
El error está certificado como máximo en 1/32.
No hace falta conocer el decimal exacto de √3 para justificar la cota.
Un paso corto puede aparecer lejos de la raíz
f(x)=e^(100x)−1, en x=1; la raíz es cero.
Paso de Newton
s=−(e¹⁰⁰−1)/(100e¹⁰⁰)=−(1−e⁻¹⁰⁰)/100.Tamaño
|s|<0,01.Distancia
El punto actual está a distancia uno de la raíz; tras ese paso seguirá a más de 0,99.
Una tolerancia aislada sobre el paso podría parar demasiado pronto.
La cuenta simbólica muestra el mecanismo sin depender de evaluar una exponencial grande en una máquina concreta.
8. Secante y métodos protegidos combinan información con garantías distintas
La secante aproxima la derivada con dos valores: xₖ₊₁=xₖ−f(xₖ)(xₖ−xₖ₋₁)/(f(xₖ)−f(xₖ₋₁)). Requiere que el denominador no sea cero. A diferencia de bisección, las dos últimas aproximaciones no tienen por qué mantener signos opuestos ni encerrar la raíz. Tiene buena convergencia local bajo hipótesis apropiadas, pero no una garantía global universal.
Un híbrido puede mantener un intervalo con signos opuestos y proponer un paso rápido. Una regla segura concreta acepta Newton solo si cae en la mitad central [a+L/4; b−L/4], L=b−a; en otro caso usa el punto medio. Después actualiza por signos. Con continuidad y signos fiables, cada intervalo retenido mide como máximo 3L/4, o L/2 al bisecar.
Así se garantiza reducción; aceptar cualquier punto interior sin control adicional no daría esa misma cota uniforme.
Calcular una secante a partir de dos puntos conocidos
f(x)=x²−3; x₀=1 y x₁=2.
Valores
f(1)=−2 y f(2)=1; la diferencia de valores es tres.Primer paso
x₂=2−1·(2−1)/(1−(−2))=5/3; f(x₂)=−2/9.Actualizar ambos datos
La siguiente secante usa 2 y 5/3: x₃=19/11, con f(x₃)=−2/121.
Se obtienen candidatos sin evaluar f′.
La fórmula no se puede aplicar si los dos valores de función son iguales; hay que elegir otra acción.
Proteger Newton cuando intenta repetir un ciclo
f(x)=x³−2x+2; mantenemos [−2;0], con signos −2 y 2, y proponemos Newton desde cero.
Primer rechazo
Newton propone uno, fuera del intervalo.
Bisecamos en −1; f(−1)=3, así queda [−2;−1].Segundo rechazo
Desde −1, Newton propone −4.
Bisecamos en −1,5; f(−1,5)=13/8>0.Queda [−2;−1,5].
Paso aceptable
Desde −1,5 propone −35/19≈−1,8421, dentro de la mitad central [−1,875;−1,625].Lo evaluamos y actualizamos conservando signos opuestos.
La protección conserva un encierro incluso cuando Newton puro falla desde el punto inicial.
No declaramos convergencia solo por alcanzar el máximo de iteraciones; informamos el intervalo o control obtenido.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Un paso de Newton
Para f(x)=x²−2, comienza en x₀=1,5.
Función y derivada
f(x)=x²−2 y f′(x)=2x.Evaluar en el punto conocido
x₀=1,5=3/2; f(x₀)=9/4−2=1/4 y f′(x₀)=3.Escribir la tangente
y=1/4+3(x−3/2).El siguiente iterado es su corte con y=0.Actualizar
x₁=3/2−(1/4)/3=3/2−1/12=17/12.Decimal y control
17/12≈1,416667; f(17/12)=289/144−288/144=1/144.Interpretar
El residuo baja de 1/4 a 1/144; no es todavía cero. La derivada tres correspondía al punto inicial, no a la raíz desconocida.
x₁=17/12≈1,416667.
El residual baja de 1/4 a (17/12)²−2=1/144.
EJEMPLO RESUELTO 2
Acotar por bisección
Busca una raíz de x²−2 en [1,2] con dos divisiones.
Preparar el intervalo
f(x)=x²−2 es continuo; f(1)=−1 y f(2)=2.Hay una raíz encerrada.
Primera división
El punto medio es 1,5; f(1,5)=1/4>0.Conservar signos
El extremo izquierdo sigue siendo uno; retenemos [1;1,5].
Segunda división
El punto medio es 1,25; f(1,25)=25/16−2=−7/16<0.Nuevo intervalo
Retenemos [1,25;1,5], cuyos extremos tienen signos opuestos.
Comprobar la longitud
1,5−1,25=1/4=(2−1)/2².Su nuevo centro sería 1,375, con error como máximo 1/8.
La raíz queda en [1,25; 1,5].
Su longitud es 1/4, igual a (2−1)/2².
Los símbolos que hemos usado
- Raíz r
- Valor que satisface f(r)=0.
- Raíz simple
- Raíz con f′(r)≠0 cuando f es diferenciable.
- Intervalo de encierro
- Intervalo donde se garantiza al menos una raíz bajo las hipótesis usadas.
- Residuo
- Valor f(x_k), o vector F(x_k), que mide incumplimiento de la ecuación.
- Semilla x₀
- Aproximación inicial de una iteración.
- J_F(x)
- Matriz de derivadas parciales de las componentes de F.
- Paso s_k
- Corrección que se añade al iterado actual.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
Practicar este tema →