Números reales, intervalos y valor absoluto

Los naturales sirven para contar: aquí usamos ℕ = {0; 1; 2; …}. Algunos libros empiezan en uno; por eso declaramos la convención. Los enteros ℤ añaden los opuestos negativos: …, −2, −1, 0, 1, 2… Todo natural es entero, pero no todo entero es natural.

El conjunto se llama ℚ. Un entero también es racional, porque se puede escribir sobre uno. Los reales ℝ incluyen racionales e irracionales, como √2 o π, que no son cocientes de enteros. Todos se representan sobre la recta real.

Los decimales exactos, como 0,125 = 125/1000, son racionales. También lo son los decimales periódicos: a partir de cierta posición repiten un bloque para siempre. La expansión decimal de un racional termina o es finalmente periódica.

Un irracional tiene expansión infinita no finalmente periódica. No significa que ningún dígito se repita; significa que no aparece un bloque fijo que se repita para siempre desde algún lugar. Un valor redondeado de √2 es una aproximación racional, no el número exacto.

La condición −2 < x ≤ 3 exige las dos cosas a la vez: ser mayor que −2 y menor o igual que 3. La escribimos (−2; 3]. El paréntesis excluye −2; el corchete incluye 3. El trazo contiene también decimales, fracciones e irracionales entre esos extremos.

En la recta usamos punto vacío para una frontera excluida y lleno para una incluida. [a; b] incluye las dos, (a; b) ninguna y los intervalos mixtos una. Para rayos usamos −∞ o +∞ con paréntesis: infinito indica continuación sin límite, no un número real que pueda incluirse.

A ∩ B exige pertenecer a los dos conjuntos. Si un intervalo empieza después de donde llega el otro, la intersección puede quedar vacía. A ∪ B permite pertenecer a cualquiera; si hay hueco, la unión sigue teniendo dos trozos y no se rellena.

Para cada frontera comprobamos las condiciones de los dos intervalos cuando intersectamos. Que un extremo esté incluido en uno no basta si el otro lo excluye. Un dibujo con la misma escala en varias filas ayuda a comparar.

|x| es la distancia de x a cero. Por eso |−4| = 4 y |4| = 4: las posiciones son opuestas, las distancias iguales.

Ese segundo signo produce una cantidad positiva al aplicarlo a un número negativo.

Para medir distancia entre x y a usamos |x − a|. Por ejemplo, entre −1 y 2 hay tres unidades: |−1 − 2| = |−3| = 3. Intercambiar los puntos cambia el signo de la resta, pero no su valor absoluto.

|x − a| ≤ r, con r ≥ 0, significa estar como mucho a r unidades de a. La frontera izquierda es a − r y la derecha a + r. Conservamos todas las posiciones entre ellas: a − r ≤ x ≤ a + r.

Si la desigualdad es estricta, las fronteras se excluyen. Con radio cero, ≤ solo deja el centro y < no deja nada. Con un radio negativo, una distancia no puede ser menor o igual que él: no hay soluciones.

Sirve estar a la izquierda de a − r o a la derecha de a + r.

No se exige cumplir las dos direcciones a la vez.

Para |x − a| = r con r > 0 quedan solo los dos puntos frontera. Si el lado derecho es negativo, la igualdad no tiene soluciones, pero una desigualdad como |x − a| > −2 la cumplen todos los reales. El signo del radio y el sentido importan.

Probamos valores interiores, exteriores y fronteras en la condición original. El dibujo muestra si la respuesta tiene un tramo, dos rayos o puntos aislados. La escritura final debe conservar la igualdad o desigualdad estricta de cada límite.

Una comprobación con algunos números ayuda a detectar errores, pero no sustituye la justificación para todos los valores. La interpretación de distancia o las condiciones simultáneas explican por qué el conjunto completo es el indicado.