Variables aleatorias y sus parámetros

Lanzamos dos monedas justas independientes y registramos el orden. En las tarjetas C significa cara y R significa cruz. Definimos la variable aleatoria X como número de caras. El resultado cara,cruz y el resultado cruz,cara son distintos, pero ambos producen el valor uno.

La mayúscula X nombra la variable antes de observarla; x es un posible valor concreto. Aleatoria no significa cambiar la regla al azar después: para cada resultado ya sabemos qué número le corresponde. Su distribución reúne las probabilidades de los valores que esa regla produce.

Una variable discreta toma valores de un conjunto finito o numerable. Su función de masa p(x)=P(X=x) debe ser no negativa y sumar uno sobre todos los valores. Para reunir varios valores sumamos sus masas, porque una misma variable no toma dos valores distintos a la vez.

Los valores no tienen por qué ser equiprobables. Primero agrupamos los resultados que dan el mismo número y después sumamos sus probabilidades. Si falta una masa en una tabla completa, se puede deducir de la suma uno; si la tabla omite más valores, ese cálculo no determina una casilla concreta.

Si X tiene densidad f, una probabilidad de intervalo se calcula como área: P(a≤X≤b)=∫ de a a b de f(x) dx. La densidad es no negativa y su área total uno. Una altura puede superar uno; las unidades de f son inversas a las de x, para que altura por anchura no tenga unidades.

Cada punto individual tiene probabilidad cero en este modelo, por eso incluir o excluir un extremo no cambia el área. Eso no impide obtener una medición. Discreta y con densidad son dos clases básicas; también existen mezclas con masas puntuales y una parte continua.

F(x)=P(X≤x) está definida para cualquier variable aleatoria real. No decrece, es continua por la derecha y tiende a cero hacia −∞ y a uno hacia +∞. Una masa puntual aparece como un salto; su tamaño es la probabilidad de ese punto.

Para incluir ese extremo cuando tiene masa, añadimos P(X=a). En una variable con densidad no hay ese salto; donde F se deriva como corresponde, F′=f, una densidad y no una probabilidad de punto.

Cada valor aporta lo que vale multiplicado por su frecuencia probabilística.

Para una esperanza real finita pedimos E[|X|]<∞; no hacemos cancelaciones formales entre infinitos.

La esperanza puede no ser un valor que la variable tome. Describe una media probabilística, no el siguiente resultado. Su interpretación como promedio a largo plazo se apoya en leyes de grandes números bajo sus hipótesis; no garantiza que una tanda corta compense exactamente los resultados anteriores.

Si el segundo momento es finito, equivale a E[X²]−μ². Primero promediamos cuadrados y después restamos el cuadrado de la media. La desviación típica σ es la raíz no negativa de la varianza y vuelve a las unidades de X.

La varianza no puede ser negativa. Si vale cero, X=μ con probabilidad uno; puede seguir tomando otro valor en resultados de probabilidad cero. Una esperanza finita no garantiza segundo momento finito: antes de usar un parámetro verificamos que exista.

Para constantes a,b y momentos finitos, E[aX+b]=aE[X]+b y Var(aX+b)=a²Var(X). Sumar b desplaza todo sin modificar distancias al nuevo centro. Multiplicar por a escala cada desviación y, al cuadrarla, produce a².

E[X+Y]=E[X]+E[Y] no exige independencia cuando las esperanzas son finitas. Para varianzas, con segundos momentos finitos: Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y), donde Cov(X,Y)=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]. Si son independientes, la covarianza es cero y las varianzas se suman.

En discreta, E[g(X)]=∑g(x)p(x), siempre que la esperanza esté bien definida. No hace falta construir otra tabla si podemos transformar cada valor con sus pesos originales. En general no coincide con g(E[X]); sí para las transformaciones afines que acabamos de estudiar.

Antes de calcular comprobamos masas no negativas y suma uno. En una distribución finita, la media queda entre el menor y el mayor valor y la varianza es no negativa. Revisar por desviaciones y por segundo momento ofrece dos cuentas independientes del mismo parámetro.